Номер 4.58, страница 100 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.2. Уравнения прямой и окружности. Раздел 4. Прямоугольная система координат на плоскости - номер 4.58, страница 100.

Учебник rus.

4.58. 1) Докажите, что медиана AA₁ треугольника ABC вычисляется по формуле $AA_1 = \frac{1}{2}\sqrt{2AB^2 + 2AC^2 - BC^2}$.

2) Используя эту формулу, докажите, что треугольник с двумя равными медианами является равнобедренным.

Учебник kz.

Решение.

Решение 2 rus.

1)

Для доказательства формулы длины медианы воспользуемся методом достроения треугольника до параллелограмма. Пусть дан треугольник $ABC$, и $AA_1$ — его медиана, проведенная к стороне $BC$.

1. На продолжении медианы $AA_1$ за точку $A_1$ отложим отрезок $A_1D$, равный $AA_1$. Таким образом, $AD = 2AA_1$.

2. Рассмотрим четырехугольник $ABDC$. Его диагонали $AD$ и $BC$ пересекаются в точке $A_1$. По определению медианы, $A_1$ — середина стороны $BC$, то есть $BA_1 = A_1C$. По построению, $A_1$ — середина отрезка $AD$, так как $AA_1 = A_1D$.

3. Четырехугольник, у которого диагонали в точке пересечения делятся пополам, является параллелограммом. Следовательно, $ABDC$ — параллелограмм.

4. Воспользуемся свойством параллелограмма: сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех его сторон. Для параллелограмма $ABDC$ это свойство записывается так:

$AD^2 + BC^2 = AB^2 + BD^2 + DC^2 + CA^2$

5. Так как $ABDC$ — параллелограмм, его противоположные стороны равны: $BD = AC$ и $DC = AB$. Подставим эти равенства в формулу:

$AD^2 + BC^2 = AB^2 + AC^2 + AB^2 + AC^2$

$AD^2 + BC^2 = 2(AB^2 + AC^2)$

6. Вспомним, что по построению $AD = 2AA_1$. Подставим это в полученное уравнение:

$(2AA_1)^2 + BC^2 = 2AB^2 + 2AC^2$

$4AA_1^2 + BC^2 = 2AB^2 + 2AC^2$

7. Выразим из этого уравнения $AA_1^2$:

$4AA_1^2 = 2AB^2 + 2AC^2 - BC^2$

$AA_1^2 = \frac{2AB^2 + 2AC^2 - BC^2}{4}$

8. Извлечем квадратный корень из обеих частей, чтобы найти длину $AA_1$:

$AA_1 = \sqrt{\frac{2AB^2 + 2AC^2 - BC^2}{4}} = \frac{1}{2}\sqrt{2AB^2 + 2AC^2 - BC^2}$

Таким образом, формула доказана.

Ответ: Что и требовалось доказать.

2)

Пусть в треугольнике $ABC$ проведены две медианы: $AA_1$ к стороне $BC$ и $BB_1$ к стороне $AC$. По условию, эти медианы равны: $AA_1 = BB_1$.

Воспользуемся доказанной в пункте 1) формулой для вычисления длины каждой из этих медиан.

Длина медианы $AA_1$ вычисляется по формуле:

$AA_1 = \frac{1}{2}\sqrt{2AB^2 + 2AC^2 - BC^2}$

Длина медианы $BB_1$, проведенной к стороне $AC$, вычисляется аналогично. В этой формуле стороны $AC$ и $BC$ (как сторона, к которой проведена медиана) и $AB$ и $BC$ (как боковые стороны) меняются местами:

$BB_1 = \frac{1}{2}\sqrt{2AB^2 + 2BC^2 - AC^2}$

Поскольку $AA_1 = BB_1$, мы можем приравнять выражения для их длин:

$\frac{1}{2}\sqrt{2AB^2 + 2AC^2 - BC^2} = \frac{1}{2}\sqrt{2AB^2 + 2BC^2 - AC^2}$

Умножим обе части уравнения на 2 и возведем в квадрат, чтобы избавиться от корней:

$2AB^2 + 2AC^2 - BC^2 = 2AB^2 + 2BC^2 - AC^2$

Сократим одинаковые члены $2AB^2$ в обеих частях уравнения:

$2AC^2 - BC^2 = 2BC^2 - AC^2$

Перенесем члены с $AC^2$ в левую часть, а члены с $BC^2$ — в правую:

$2AC^2 + AC^2 = 2BC^2 + BC^2$

$3AC^2 = 3BC^2$

Разделим обе части на 3:

$AC^2 = BC^2$

Поскольку длины сторон являются положительными величинами, из равенства их квадратов следует равенство самих длин:

$AC = BC$

В треугольнике $ABC$ две стороны ($AC$ и $BC$) равны. Треугольник, у которого две стороны равны, по определению является равнобедренным.

Ответ: Что и требовалось доказать.