Номер 4.56, страница 100 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.56. Вершины треугольника находятся в точках: $A(-7; 5)$, $B(3; -1)$, $C(5; 3)$. Напишите уравнение прямых, проходящих через:

1) срединные перпендикуляры;

2) стороны;

3) среднюю линию.

Дан треугольник с вершинами в точках A(-7; 5), B(3; -1), C(5; 3).

1) серединные перпендикуляры

Серединный перпендикуляр к отрезку — это прямая, проходящая через середину данного отрезка и перпендикулярная ему. Для нахождения уравнения серединного перпендикуляра для каждой стороны треугольника, мы сначала найдем координаты середины стороны, затем угловой коэффициент прямой, содержащей эту сторону, и, наконец, угловой коэффициент перпендикулярной ей прямой.

Серединный перпендикуляр к стороне AB:

1. Найдем координаты середины M_AB стороны AB.
$M_{AB} = (\frac{x_A+x_B}{2}; \frac{y_A+y_B}{2}) = (\frac{-7+3}{2}; \frac{5+(-1)}{2}) = (-2; 2)$.

2. Найдем угловой коэффициент k_AB прямой AB.
$k_{AB} = \frac{y_B-y_A}{x_B-x_A} = \frac{-1-5}{3-(-7)} = \frac{-6}{10} = -\frac{3}{5}$.

3. Угловой коэффициент k₁ серединного перпендикуляра удовлетворяет условию $k_1 \cdot k_{AB} = -1$, следовательно $k_1 = -\frac{1}{k_{AB}}$.
$k_1 = -\frac{1}{-3/5} = \frac{5}{3}$.

4. Составим уравнение прямой, проходящей через точку M_AB(-2; 2) с угловым коэффициентом $k_1 = 5/3$, используя уравнение прямой с угловым коэффициентом $y - y_0 = k(x - x_0)$.
$y - 2 = \frac{5}{3}(x - (-2))$
$3(y - 2) = 5(x + 2)$
$3y - 6 = 5x + 10$
$5x - 3y + 16 = 0$.

Серединный перпендикуляр к стороне BC:

1. Найдем координаты середины M_BC стороны BC.
$M_{BC} = (\frac{x_B+x_C}{2}; \frac{y_B+y_C}{2}) = (\frac{3+5}{2}; \frac{-1+3}{2}) = (4; 1)$.

2. Найдем угловой коэффициент k_BC прямой BC.
$k_{BC} = \frac{y_C-y_B}{x_C-x_B} = \frac{3-(-1)}{5-3} = \frac{4}{2} = 2$.

3. Угловой коэффициент k₂ серединного перпендикуляра равен $k_2 = -\frac{1}{k_{BC}}$.
$k_2 = -\frac{1}{2}$.

4. Составим уравнение прямой, проходящей через точку M_BC(4; 1) с угловым коэффициентом $k_2 = -1/2$.
$y - 1 = -\frac{1}{2}(x - 4)$
$2(y - 1) = -(x - 4)$
$2y - 2 = -x + 4$
$x + 2y - 6 = 0$.

Серединный перпендикуляр к стороне AC:

1. Найдем координаты середины M_AC стороны AC.
$M_{AC} = (\frac{x_A+x_C}{2}; \frac{y_A+y_C}{2}) = (\frac{-7+5}{2}; \frac{5+3}{2}) = (-1; 4)$.

2. Найдем угловой коэффициент k_AC прямой AC.
$k_{AC} = \frac{y_C-y_A}{x_C-x_A} = \frac{3-5}{5-(-7)} = \frac{-2}{12} = -\frac{1}{6}$.

3. Угловой коэффициент k₃ серединного перпендикуляра равен $k_3 = -\frac{1}{k_{AC}}$.
$k_3 = -\frac{1}{-1/6} = 6$.

4. Составим уравнение прямой, проходящей через точку M_AC(-1; 4) с угловым коэффициентом $k_3 = 6$.
$y - 4 = 6(x - (-1))$
$y - 4 = 6x + 6$
$6x - y + 10 = 0$.

Ответ: Уравнения серединных перпендикуляров: $5x - 3y + 16 = 0$, $x + 2y - 6 = 0$, $6x - y + 10 = 0$.

2) стороны

Уравнение прямой, проходящей через две точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, можно найти по формуле $\frac{x-x_1}{x_2-x_1} = \frac{y-y_1}{y_2-y_1}$.

Уравнение стороны AB (точки A(-7; 5) и B(3; -1)):
$\frac{x - (-7)}{3 - (-7)} = \frac{y - 5}{-1 - 5}$
$\frac{x + 7}{10} = \frac{y - 5}{-6}$
$-6(x + 7) = 10(y - 5)$
Разделим обе части на -2:
$3(x + 7) = -5(y - 5)$
$3x + 21 = -5y + 25$
$3x + 5y - 4 = 0$.

Уравнение стороны BC (точки B(3; -1) и C(5; 3)):
$\frac{x - 3}{5 - 3} = \frac{y - (-1)}{3 - (-1)}$
$\frac{x - 3}{2} = \frac{y + 1}{4}$
$4(x - 3) = 2(y + 1)$
Разделим обе части на 2:
$2(x - 3) = y + 1$
$2x - 6 = y + 1$
$2x - y - 7 = 0$.

Уравнение стороны AC (точки A(-7; 5) и C(5; 3)):
$\frac{x - (-7)}{5 - (-7)} = \frac{y - 5}{3 - 5}$
$\frac{x + 7}{12} = \frac{y - 5}{-2}$
$-2(x + 7) = 12(y - 5)$
Разделим обе части на -2:
$x + 7 = -6(y - 5)$
$x + 7 = -6y + 30$
$x + 6y - 23 = 0$.

Ответ: Уравнения сторон: AB: $3x + 5y - 4 = 0$; BC: $2x - y - 7 = 0$; AC: $x + 6y - 23 = 0$.

3) среднюю линию

Средняя линия треугольника соединяет середины двух его сторон. Она параллельна третьей стороне. В треугольнике три средние линии. Найдем уравнения прямых, содержащих эти линии.

Координаты середин сторон (найдены в пункте 1): M_AB(-2; 2), M_BC(4; 1), M_AC(-1; 4).

Уравнение средней линии можно найти как уравнение прямой, проходящей через середины двух сторон, или как уравнение прямой, проходящей через одну середину параллельно третьей стороне.

Уравнение средней линии M_ACM_BC (параллельна AB):
Эта прямая проходит через точку M_AC(-1; 4) и имеет угловой коэффициент, равный угловому коэффициенту стороны AB: $k_{AB} = -3/5$.
$y - 4 = -\frac{3}{5}(x - (-1))$
$5(y - 4) = -3(x + 1)$
$5y - 20 = -3x - 3$
$3x + 5y - 17 = 0$.

Уравнение средней линии M_ABM_AC (параллельна BC):
Эта прямая проходит через точку M_AB(-2; 2) и имеет угловой коэффициент, равный угловому коэффициенту стороны BC: $k_{BC} = 2$.
$y - 2 = 2(x - (-2))$
$y - 2 = 2x + 4$
$2x - y + 6 = 0$.

Уравнение средней линии M_ABM_BC (параллельна AC):
Эта прямая проходит через точку M_AB(-2; 2) и имеет угловой коэффициент, равный угловому коэффициенту стороны AC: $k_{AC} = -1/6$.
$y - 2 = -\frac{1}{6}(x - (-2))$
$6(y - 2) = -(x + 2)$
$6y - 12 = -x - 2$
$x + 6y - 10 = 0$.

Ответ: Уравнения прямых, содержащих средние линии: $3x + 5y - 17 = 0$, $2x - y + 6 = 0$, $x + 6y - 10 = 0$.