Номер 4.52, страница 100 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.52. Диагонали ромба, равные 10 см и 4 см, лежат на осях координат. Напишите уравнения прямых, проходящих через стороны ромба.

По условию задачи, диагонали ромба лежат на осях координат. Это означает, что центр ромба совпадает с началом координат O(0, 0), а его вершины находятся на осях Ox и Oy. Диагонали ромба в точке пересечения делятся пополам.

Пусть длины диагоналей равны $d_1 = 10$ см и $d_2 = 4$ см. Поскольку в условии не указано, какая из диагоналей лежит на какой оси, рассмотрим два возможных случая.

Случай 1: Большая диагональ (10 см) лежит на оси Ox, меньшая (4 см) — на оси Oy.

В этом случае полудиагонали равны $10/2 = 5$ и $4/2 = 2$. Вершины ромба имеют следующие координаты: A(5, 0), B(0, 2), C(-5, 0) и D(0, -2).

Для нахождения уравнений прямых, проходящих через стороны ромба, удобно использовать уравнение прямой в отрезках: $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$, где a и b — это величины отрезков, отсекаемых прямой на осях Ox и Oy соответственно.

Уравнение стороны AB, проходящей через точки A(5, 0) и B(0, 2):

Здесь $a = 5$, $b = 2$. Подставляем в формулу: $\frac{x}{5} + \frac{y}{2} = 1$.

Умножив обе части на 10, получим общее уравнение прямой: $2x + 5y = 10$, или $2x + 5y - 10 = 0$.

Уравнение стороны BC, проходящей через точки B(0, 2) и C(-5, 0):

Здесь $a = -5$, $b = 2$. Уравнение: $\frac{x}{-5} + \frac{y}{2} = 1$.

Преобразовав, получаем: $-2x + 5y = 10$, или $2x - 5y + 10 = 0$.

Уравнение стороны CD, проходящей через точки C(-5, 0) и D(0, -2):

Здесь $a = -5$, $b = -2$. Уравнение: $\frac{x}{-5} + \frac{y}{-2} = 1$.

Преобразовав, получаем: $2x + 5y = -10$, или $2x + 5y + 10 = 0$.

Уравнение стороны DA, проходящей через точки D(0, -2) и A(5, 0):

Здесь $a = 5$, $b = -2$. Уравнение: $\frac{x}{5} + \frac{y}{-2} = 1$.

Преобразовав, получаем: $2x - 5y = 10$, или $2x - 5y - 10 = 0$.

Случай 2: Меньшая диагональ (4 см) лежит на оси Ox, большая (10 см) — на оси Oy.

В этом случае полудиагонали равны $4/2 = 2$ и $10/2 = 5$. Вершины ромба имеют координаты: A(2, 0), B(0, 5), C(-2, 0) и D(0, -5).

Аналогично первому случаю, находим уравнения сторон:

Сторона AB ($a=2, b=5$): $\frac{x}{2} + \frac{y}{5} = 1 \implies 5x + 2y = 10 \implies 5x + 2y - 10 = 0$.

Сторона BC ($a=-2, b=5$): $\frac{x}{-2} + \frac{y}{5} = 1 \implies -5x + 2y = 10 \implies 5x - 2y + 10 = 0$.

Сторона CD ($a=-2, b=-5$): $\frac{x}{-2} + \frac{y}{-5} = 1 \implies 5x + 2y = -10 \implies 5x + 2y + 10 = 0$.

Сторона DA ($a=2, b=-5$): $\frac{x}{2} + \frac{y}{-5} = 1 \implies 5x - 2y = 10 \implies 5x - 2y - 10 = 0$.

Ответ:

Поскольку условие не уточняет, на какой из осей находится каждая диагональ, задача имеет два возможных решения.

Вариант 1 (диагональ 10 см на оси Ox):

$2x + 5y - 10 = 0$

$2x - 5y + 10 = 0$

$2x + 5y + 10 = 0$

$2x - 5y - 10 = 0$

Вариант 2 (диагональ 4 см на оси Ox):

$5x + 2y - 10 = 0$

$5x - 2y + 10 = 0$

$5x + 2y + 10 = 0$

$5x - 2y - 10 = 0$