Номер 4.57, страница 100 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.57. Докажите, что значение разности $(AF^2 + CF^2) - (BF^2 + DF^2)$ для точки F и параллелограмма ABCD постоянно и не зависит от точки F.

Для доказательства воспользуемся свойством медианы в треугольнике. Пусть $ABCD$ — заданный параллелограмм, а $F$ — произвольная точка. Обозначим точку пересечения диагоналей $AC$ и $BD$ как $O$. Известно, что диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам, следовательно, точка $O$ является серединой отрезков $AC$ и $BD$.

Рассмотрим треугольник $\triangle AFC$. Отрезок $FO$ соединяет вершину $F$ с серединой противолежащей стороны $AC$, значит, $FO$ является медианой этого треугольника.

Согласно теореме о медиане (теореме Аполлония), сумма квадратов двух сторон треугольника равна удвоенной сумме квадрата медианы и квадрата половины третьей стороны. Применительно к $\triangle AFC$ и его медиане $FO$ это свойство записывается в виде формулы:

$AF^2 + CF^2 = 2(FO^2 + AO^2)$

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle BFD$. Аналогично, отрезок $FO$ является медианой этого треугольника, так как соединяет вершину $F$ с серединой стороны $BD$. Применяя теорему о медиане к $\triangle BFD$, получаем:

$BF^2 + DF^2 = 2(FO^2 + BO^2)$

Вычислим значение исходного выражения, подставив в него полученные равенства:

$(AF^2 + CF^2) - (BF^2 + DF^2) = 2(FO^2 + AO^2) - 2(FO^2 + BO^2)$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$2 \cdot FO^2 + 2 \cdot AO^2 - 2 \cdot FO^2 - 2 \cdot BO^2 = 2(AO^2 - BO^2)$

Величины $AO$ и $BO$ — это половины длин диагоналей $AC$ и $BD$ соответственно. Для заданного параллелограмма $ABCD$ длины его диагоналей являются постоянными, следовательно, длины отрезков $AO$ и $BO$ также являются постоянными величинами. Таким образом, значение выражения $2(AO^2 - BO^2)$ является константой, которая зависит только от размеров параллелограмма и не зависит от положения точки $F$, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что значение разности $(AF^2 + CF^2) - (BF^2 + DF^2)$ постоянно и не зависит от выбора точки $F$.