Номер 5.11, страница 101 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.11. Найдите множество всех точек плоскости, из которых данный треугольник виден под данным углом.

Для решения задачи сперва необходимо точно определить, что означает фраза «треугольник виден под данным углом». Наиболее естественной является следующая интерпретация: угол, под которым виден треугольник из точки $P$, — это угол наименьшего конуса с вершиной в точке $P$, содержащего данный треугольник. Если точка $P$ находится вне треугольника, стороны этого конуса (лучи) будут проходить через две из трех вершин треугольника. Таким образом, угол зрения — это наибольший из трех углов, под которыми из точки $P$ видны стороны треугольника.

Пусть дан треугольник $ABC$ и угол $\alpha$, где $0 < \alpha < 180^\circ$. Пусть $P$ — точка на плоскости, из которой треугольник виден под углом $\alpha$. Согласно нашему определению, это означает, что $\max(\angle APB, \angle BPC, \angle CPA) = \alpha$.

Все точки $P$ вне треугольника можно разделить на три области в зависимости от того, какая из сторон $AB$, $BC$ или $CA$ определяет угол зрения:

• $W_{AB} = \{ P \mid \angle APB \ge \angle BPC \text{ и } \angle APB \ge \angle CPA \}$
• $W_{BC} = \{ P \mid \angle BPC \ge \angle APB \text{ и } \angle BPC \ge \angle CPA \}$
• $W_{CA} = \{ P \mid \angle CPA \ge \angle APB \text{ и } \angle CPA \ge \angle BPC \}$

Искомое множество точек является объединением трех множеств:

1. Множество точек $P \in W_{AB}$, для которых $\angle APB = \alpha$.
2. Множество точек $P \in W_{BC}$, для которых $\angle BPC = \alpha$.
3. Множество точек $P \in W_{CA}$, для которых $\angle CPA = \alpha$.

Рассмотрим геометрическое место точек (ГМТ), из которых данный отрезок виден под данным углом. ГМТ, из которых отрезок $XY$ виден под углом $\alpha$, состоит из двух дуг окружностей, симметричных относительно прямой $XY$.

Для каждой стороны треугольника построим соответствующую дугу окружности, лежащую снаружи по отношению к треугольнику.
1. Для стороны $AB$ построим дугу, на которой лежит ГМТ $P$ таких, что $\angle APB = \alpha$. Эта дуга лежит по ту сторону от прямой $AB$, где не лежит вершина $C$. Обозначим окружность, содержащую эту дугу, как $\Omega_{AB}$.
2. Аналогично для стороны $BC$ построим дугу на окружности $\Omega_{BC}$ (со стороны, противоположной вершине $A$).
3. И для стороны $CA$ построим дугу на окружности $\Omega_{CA}$ (со стороны, противоположной вершине $B$).

Теперь найдем искомое множество точек. Рассмотрим дугу на окружности $\Omega_{AB}$. Точка $P$ на этой дуге является частью искомого множества, если она принадлежит области $W_{AB}$, то есть если $\angle APB$ является наибольшим из трех углов. Это условие эквивалентно тому, что $\angle BPC \le \alpha$ и $\angle CPA \le \alpha$.

Условие $\angle BPC \le \alpha$ означает, что точка $P$ лежит на окружности $\Omega_{BC}$ или вне ее. Аналогично, условие $\angle CPA \le \alpha$ означает, что точка $P$ лежит на окружности $\Omega_{CA}$ или вне ее.

Таким образом, искомый участок дуги на окружности $\Omega_{AB}$ ограничен точками ее пересечения с окружностями $\Omega_{BC}$ и $\Omega_{CA}$.

Найдем точки пересечения этих окружностей:
• Пусть $P_A$ — точка пересечения окружностей $\Omega_{AB}$ и $\Omega_{CA}$, отличная от $A$. В этой точке $\angle AP_AB = \alpha$ и $\angle CP_AA = \alpha$.
• Пусть $P_B$ — точка пересечения окружностей $\Omega_{AB}$ и $\Omega_{BC}$, отличная от $B$. В этой точке $\angle AP_BB = \alpha$ и $\angle BP_BC = \alpha$.
• Пусть $P_C$ — точка пересечения окружностей $\Omega_{BC}$ и $\Omega_{CA}$, отличная от $C$. В этой точке $\angle BP_CC = \alpha$ и $\angle CP_CA = \alpha$.

По теореме о трех окружностях (или теореме Микеля для трех окружностей, проходящих через вершины треугольника), если три окружности $\Omega_{AB}, \Omega_{BC}, \Omega_{CA}$ проходят через пары вершин $(A,B), (B,C), (C,A)$ соответственно, они пересекаются в одной точке. Однако в нашем случае это не обязательно так, так как точки $P_A, P_B, P_C$ являются точками, где "переключается" доминирующий угол.

Искомое множество точек состоит из трех дуг:

• Дуга $P_A P_B$ на окружности $\Omega_{AB}$.
• Дуга $P_B P_C$ на окружности $\Omega_{BC}$.
• Дуга $P_C P_A$ на окружности $\Omega_{CA}$.

Эти три дуги образуют криволинейный треугольник с вершинами в точках $P_A, P_B, P_C$.

Случаи, когда решение не существует:
Если $\alpha \ge 180^\circ$, то таких точек не существует.
Также, если $\alpha$ будет больше или равно $180^\circ - \min(\angle A, \angle B, \angle C)$, то при приближении к вершине с наименьшим углом (извне треугольника) угол зрения будет стремиться к этому значению, но не сможет его достичь. Однако при приближении к точке на стороне (но не к вершине) угол зрения стремится к $180^\circ$. Таким образом, решение существует для любого $\alpha \in (0, 180^\circ)$.

Ответ:Искомое множество точек — это криволинейный треугольник, стороны которого являются дугами трех окружностей. Чтобы построить это множество, необходимо выполнить следующие действия:
1. Для каждой стороны треугольника (например, $AB$) построить окружность ($\Omega_{AB}$), из точек которой эта сторона видна под заданным углом $\alpha$. Из двух дуг, образуемых этой окружностью, выбирается та, что лежит с противоположной стороны от третьей вершины ($C$).
2. Проделать это для всех трех сторон, получив три окружности: $\Omega_{AB}$, $\Omega_{BC}$, $\Omega_{CA}$.
3. Найти точки попарного пересечения этих окружностей, отличные от вершин треугольника: $P_A = \Omega_{AB} \cap \Omega_{CA}$, $P_B = \Omega_{AB} \cap \Omega_{BC}$, $P_C = \Omega_{BC} \cap \Omega_{CA}$.
4. Искомым множеством является объединение трех дуг: дуги $P_A P_B$ на окружности $\Omega_{AB}$, дуги $P_B P_C$ на окружности $\Omega_{BC}$ и дуги $P_C P_A$ на окружности $\Omega_{CA}$. Данное множество существует для любого угла $\alpha \in (0, 180^\circ)$.