Номер 5.17, страница 102 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.17. В выпуклом четырехугольнике $ABCD$ биссектрисы углов $A$ и $C$ пересекаются с биссектрисами углов $B$ и $D$ в четырех точках. Докажите, что все эти точки лежат на одной окружности.

Пусть $ABCD$ — выпуклый четырехугольник, а $\angle A, \angle B, \angle C, \angle D$ — его внутренние углы. Известно, что сумма углов выпуклого четырехугольника равна $360^\circ$:
$\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ$.

Обозначим биссектрисы углов $\angle A, \angle B, \angle C, \angle D$ как $l_A, l_B, l_C, l_D$ соответственно. Согласно условию, эти биссектрисы, пересекаясь, образуют четыре точки. Обозначим эти точки как $P$ (пересечение $l_A$ и $l_B$), $Q$ (пересечение $l_B$ и $l_C$), $R$ (пересечение $l_C$ и $l_D$) и $S$ (пересечение $l_D$ и $l_A$). Эти четыре точки $P, Q, R, S$ образуют четырехугольник.

Чтобы доказать, что все эти точки лежат на одной окружности, необходимо показать, что четырехугольник $PQRS$ является вписанным в окружность. Для этого достаточно доказать, что сумма его противолежащих углов равна $180^\circ$. Найдем сумму углов $\angle SPQ$ и $\angle QRS$.

Угол $\angle SPQ$ образован пересечением биссектрис $l_A$ и $l_B$. Этот угол является вертикальным к углу $\angle APB$ в треугольнике $\triangle APB$, образованном вершинами $A, B$ и точкой пересечения биссектрис $P$. В треугольнике $\triangle APB$ углы при вершинах $A$ и $B$ равны половинам соответствующих углов четырехугольника $ABCD$: $\angle PAB = \frac{\angle A}{2}$ и $\angle PBA = \frac{\angle B}{2}$.
Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому угол $\angle APB$ равен:
$\angle APB = 180^\circ - (\angle PAB + \angle PBA) = 180^\circ - \left(\frac{\angle A}{2} + \frac{\angle B}{2}\right) = 180^\circ - \frac{\angle A + \angle B}{2}$.
Так как $\angle SPQ = \angle APB$ (как вертикальные), то $\angle SPQ = 180^\circ - \frac{\angle A + \angle B}{2}$.

Аналогично, угол $\angle QRS$ образован пересечением биссектрис $l_C$ и $l_D$. Он вертикален углу $\angle CRD$ в треугольнике $\triangle CRD$. Углы этого треугольника при вершинах $C$ и $D$ равны $\angle RCD = \frac{\angle C}{2}$ и $\angle RDC = \frac{\angle D}{2}$.
Тогда угол $\angle CRD$ равен:
$\angle CRD = 180^\circ - (\angle RCD + \angle RDC) = 180^\circ - \left(\frac{\angle C}{2} + \frac{\angle D}{2}\right) = 180^\circ - \frac{\angle C + \angle D}{2}$.
Так как $\angle QRS = \angle CRD$, то $\angle QRS = 180^\circ - \frac{\angle C + \angle D}{2}$.

Теперь найдем сумму противолежащих углов $\angle SPQ$ и $\angle QRS$ четырехугольника $PQRS$:
$\angle SPQ + \angle QRS = \left(180^\circ - \frac{\angle A + \angle B}{2}\right) + \left(180^\circ - \frac{\angle C + \angle D}{2}\right)$
$\angle SPQ + \angle QRS = 360^\circ - \frac{\angle A + \angle B + \angle C + \angle D}{2}$.

Используя тот факт, что $\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ$, подставим это значение в полученное выражение:
$\angle SPQ + \angle QRS = 360^\circ - \frac{360^\circ}{2} = 360^\circ - 180^\circ = 180^\circ$.

Так как сумма противолежащих углов четырехугольника $PQRS$ равна $180^\circ$, то вокруг него можно описать окружность. Следовательно, все его вершины $P, Q, R, S$ лежат на одной окружности, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Сумма противоположных углов четырехугольника, образованного точками пересечения биссектрис, равна $180^\circ$, следовательно, он является вписанным, и все четыре точки лежат на одной окружности.