Номер 5.15, страница 102 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.15. Основание треугольника равно 26 см, а медианы, проведенные к боковым сторонам, равны 30 см и 39 см. Найдите площадь треугольника.

Пусть дан треугольник $ABC$. Обозначим его стороны как $a, b, c$ напротив вершин $A, B, C$ соответственно. Пусть основание треугольника – это сторона $AC=b=26$ см. Тогда боковыми сторонами являются $BC=a$ и $AB=c$.

Медианы, проведенные к боковым сторонам, – это медиана $m_a$, проведенная из вершины $A$ к стороне $BC$, и медиана $m_c$, проведенная из вершины $C$ к стороне $AB$. По условию задачи, их длины равны 30 см и 39 см. Пусть $m_a = 39$ см и $m_c = 30$ см.

Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке, называемой центроидом треугольника. Обозначим эту точку буквой $O$. Ключевое свойство центроида заключается в том, что он делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

Таким образом, для медиан $m_a$ (отрезок $AM_a$, где $M_a$ – середина $BC$) и $m_c$ (отрезок $CM_c$, где $M_c$ – середина $AB$) мы имеем следующие длины отрезков от вершин до центроида:
$AO = \frac{2}{3} m_a = \frac{2}{3} \cdot 39 = 26$ см.
$CO = \frac{2}{3} m_c = \frac{2}{3} \cdot 30 = 20$ см.

Теперь рассмотрим треугольник $AOC$. Его стороны нам известны: $AC = 26$ см (основание исходного треугольника), $AO = 26$ см и $CO = 20$ см.

Мы можем найти площадь треугольника $AOC$ по формуле Герона: $S = \sqrt{p(p-s_1)(p-s_2)(p-s_3)}$, где $p$ – полупериметр, а $s_1, s_2, s_3$ – длины сторон.
Найдем полупериметр треугольника $AOC$:
$p = \frac{AC + AO + CO}{2} = \frac{26 + 26 + 20}{2} = \frac{72}{2} = 36$ см.

Теперь вычислим площадь треугольника $AOC$:
$S_{AOC} = \sqrt{36 \cdot (36-26) \cdot (36-26) \cdot (36-20)} = \sqrt{36 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 16} = \sqrt{57600}$
$S_{AOC} = \sqrt{576 \cdot 100} = \sqrt{24^2 \cdot 10^2} = 24 \cdot 10 = 240$ см$^2$.

Другое важное свойство медиан заключается в том, что отрезки, соединяющие вершины с центроидом, делят исходный треугольник на три треугольника равной площади. То есть, площадь треугольника $ABC$ равна сумме площадей треугольников $AOC$, $AOB$ и $COB$, причем все эти три площади равны между собой.
$S_{AOC} = S_{AOB} = S_{COB} = \frac{1}{3} S_{ABC}$.

Следовательно, площадь всего треугольника $ABC$ в три раза больше площади треугольника $AOC$:
$S_{ABC} = 3 \cdot S_{AOC} = 3 \cdot 240 = 720$ см$^2$.

Ответ: 720 см$^2$.