Номер 5.10, страница 101 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.10. Окружности с радиусами, равными 1, 2 и 3, касаются друг друга внешним образом, а каждая из них касается внутренним образом 4-й окружности. Найдите радиус 4-й окружности.

Пусть $O_1, O_2, O_3$ — центры трех окружностей, а их радиусы $r_1 = 1$, $r_2 = 2$ и $r_3 = 3$ соответственно. Поскольку эти три окружности касаются друг друга внешним образом, расстояние между центрами любых двух из них равно сумме их радиусов.

Найдем стороны треугольника $O_1O_2O_3$:

• Длина стороны $O_1O_2 = r_1 + r_2 = 1 + 2 = 3$.
• Длина стороны $O_2O_3 = r_2 + r_3 = 2 + 3 = 5$.
• Длина стороны $O_1O_3 = r_1 + r_3 = 1 + 3 = 4$.

Мы получили треугольник со сторонами 3, 4 и 5. Проверим, является ли он прямоугольным, используя теорему Пифагора:$3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$.Так как $(O_1O_2)^2 + (O_1O_3)^2 = (O_2O_3)^2$, треугольник $O_1O_2O_3$ является прямоугольным, с прямым углом при вершине $O_1$.

Пусть $O_4$ — центр четвертой окружности, а ее радиус равен $R$. По условию, каждая из трех окружностей касается четвертой окружности внутренним образом. Это означает, что расстояние от центра четвертой окружности до центра каждой из трех малых окружностей равно разности их радиусов ($R$ и $r_i$). Заметим, что $R$ должен быть больше, чем $r_1, r_2, r_3$.

• Расстояние $O_1O_4 = R - r_1 = R - 1$.
• Расстояние $O_2O_4 = R - r_2 = R - 2$.
• Расстояние $O_3O_4 = R - r_3 = R - 3$.

Для нахождения $R$ введем систему координат. Так как треугольник $O_1O_2O_3$ прямоугольный, удобно разместить его вершины на осях координат. Пусть:

• $O_1$ находится в начале координат, $O_1(0, 0)$.
• $O_2$ лежит на оси Ox, $O_2(3, 0)$.
• $O_3$ лежит на оси Oy, $O_3(0, 4)$.

Пусть координаты центра $O_4$ равны $(x, y)$. Тогда мы можем составить систему уравнений, используя формулу расстояния между двумя точками:

1) $(O_1O_4)^2 = (x-0)^2 + (y-0)^2 = x^2 + y^2 = (R-1)^2$
2) $(O_2O_4)^2 = (x-3)^2 + (y-0)^2 = (x-3)^2 + y^2 = (R-2)^2$
3) $(O_3O_4)^2 = (x-0)^2 + (y-4)^2 = x^2 + (y-4)^2 = (R-3)^2$

Раскроем второе уравнение: $x^2 - 6x + 9 + y^2 = R^2 - 4R + 4$.Подставим в него $x^2 + y^2 = (R-1)^2 = R^2 - 2R + 1$ из первого уравнения:$(R^2 - 2R + 1) - 6x + 9 = R^2 - 4R + 4$
$R^2 - 2R - 6x + 10 = R^2 - 4R + 4$
$2R - 6x = -6$
$R - 3x = -3 \implies 3x = R + 3 \implies x = \frac{R+3}{3}$.

Теперь раскроем третье уравнение: $x^2 + y^2 - 8y + 16 = R^2 - 6R + 9$.Подставим в него $x^2 + y^2 = (R-1)^2 = R^2 - 2R + 1$:$(R^2 - 2R + 1) - 8y + 16 = R^2 - 6R + 9$
$R^2 - 2R - 8y + 17 = R^2 - 6R + 9$
$4R - 8y = -8$
$R - 2y = -2 \implies 2y = R + 2 \implies y = \frac{R+2}{2}$.

Мы выразили $x$ и $y$ через $R$. Подставим эти выражения в первое уравнение $x^2 + y^2 = (R-1)^2$:$(\frac{R+3}{3})^2 + (\frac{R+2}{2})^2 = (R-1)^2$
$\frac{R^2+6R+9}{9} + \frac{R^2+4R+4}{4} = R^2-2R+1$

Умножим обе части уравнения на 36, чтобы избавиться от знаменателей:$4(R^2+6R+9) + 9(R^2+4R+4) = 36(R^2-2R+1)$
$4R^2 + 24R + 36 + 9R^2 + 36R + 36 = 36R^2 - 72R + 36$
$13R^2 + 60R + 72 = 36R^2 - 72R + 36$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение:$0 = (36-13)R^2 + (-72-60)R + (36-72)$
$23R^2 - 132R - 36 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта:$D = b^2 - 4ac = (-132)^2 - 4 \cdot 23 \cdot (-36) = 17424 + 3312 = 20736$.Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{20736} = 144$.

Найдем корни уравнения для $R$:$R = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{132 \pm 144}{2 \cdot 23} = \frac{132 \pm 144}{46}$.

Получаем два возможных значения для $R$:$R_1 = \frac{132 + 144}{46} = \frac{276}{46} = 6$.
$R_2 = \frac{132 - 144}{46} = \frac{-12}{46}$.

Так как радиус не может быть отрицательным, $R_2$ не является решением. Следовательно, радиус четвертой окружности равен 6.

Ответ: 6.