Номер 5.23, страница 102 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.23. Через вершину A треугольника ABC проведена прямая, пересекающая сторону BC в точке D; $\frac{CD}{BC} = \lambda (\lambda < \frac{1}{2})$. На стороне BC между точками B и D взята точка E так, что выполняется равенство $CD = DE$. Через точку E проведена прямая, параллельная AC и пересекающая AB в точке F. Найдите отношение площади трапеции ACEF к площади треугольника ACD.

Обозначим площадь треугольника $ABC$ как $S_{ABC}$.

Площадь треугольника $ACD$ можно выразить через площадь треугольника $ABC$. Треугольники $ACD$ и $ABC$ имеют общую высоту, проведенную из вершины $A$ к стороне $BC$. Отношение их площадей равно отношению их оснований:

$\frac{S_{ACD}}{S_{ABC}} = \frac{CD}{BC}$

По условию задачи, $\frac{CD}{BC} = \lambda$. Следовательно:

$S_{ACD} = \lambda \cdot S_{ABC}$

Теперь найдем площадь трапеции $ACEF$. Фигура $ACEF$ является трапецией, так как по условию прямая $EF$ параллельна прямой $AC$. Площадь этой трапеции можно найти как разность площадей треугольников $ABC$ и $BFE$.

$S_{ACEF} = S_{ABC} - S_{BFE}$

Рассмотрим треугольники $BFE$ и $BAC$. Так как $EF \parallel AC$, эти треугольники подобны ($\triangle BFE \sim \triangle BAC$) по двум углам (угол $B$ общий, $\angle BEF = \angle BCA$ как соответственные при параллельных прямых $EF$ и $AC$ и секущей $BC$).

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия $k$. Коэффициент подобия равен отношению соответственных сторон:

$k = \frac{BE}{BC}$

Найдем длину отрезка $BE$. Из условия известно, что:

1. $\frac{CD}{BC} = \lambda$, откуда $CD = \lambda \cdot BC$.

2. $CD = DE$.

3. Точка $E$ лежит на стороне $BC$ между точками $B$ и $D$. Это означает, что порядок точек на прямой: $B-E-D-C$.

Тогда длина отрезка $CE$ равна сумме длин отрезков $CD$ и $DE$:

$CE = CD + DE = 2 \cdot CD = 2 \lambda \cdot BC$

Теперь можем найти длину отрезка $BE$:

$BE = BC - CE = BC - 2 \lambda \cdot BC = (1 - 2\lambda) \cdot BC$

Условие $\lambda < \frac{1}{2}$ гарантирует, что $1 - 2\lambda > 0$, так что длина $BE$ положительна и точка $E$ действительно лежит на отрезке $BC$.

Коэффициент подобия $k$ равен:

$k = \frac{BE}{BC} = \frac{(1 - 2\lambda) \cdot BC}{BC} = 1 - 2\lambda$

Теперь найдем отношение площадей треугольников $BFE$ и $ABC$:

$\frac{S_{BFE}}{S_{ABC}} = k^2 = (1 - 2\lambda)^2$

Отсюда, $S_{BFE} = (1 - 2\lambda)^2 \cdot S_{ABC}$.

Подставим это выражение в формулу для площади трапеции $ACEF$:

$S_{ACEF} = S_{ABC} - S_{BFE} = S_{ABC} - (1 - 2\lambda)^2 \cdot S_{ABC} = S_{ABC} \cdot (1 - (1 - 2\lambda)^2)$

Упростим выражение в скобках:

$1 - (1 - 2\lambda)^2 = 1 - (1 - 4\lambda + 4\lambda^2) = 1 - 1 + 4\lambda - 4\lambda^2 = 4\lambda - 4\lambda^2 = 4\lambda(1 - \lambda)$

Таким образом, площадь трапеции равна:

$S_{ACEF} = 4\lambda(1 - \lambda) \cdot S_{ABC}$

Наконец, найдем искомое отношение площади трапеции $ACEF$ к площади треугольника $ACD$:

$\frac{S_{ACEF}}{S_{ACD}} = \frac{4\lambda(1 - \lambda) \cdot S_{ABC}}{\lambda \cdot S_{ABC}}$

Поскольку $\lambda$ - это отношение длин отрезков, $\lambda \ne 0$, и площадь треугольника $S_{ABC} \ne 0$, мы можем сократить $\lambda$ и $S_{ABC}$:

$\frac{S_{ACEF}}{S_{ACD}} = 4(1 - \lambda)$

Ответ: $4(1 - \lambda)$.