Номер 5.28, страница 103 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.28. Из точки внутри равностороннего треугольника $ABC$ на его стороны $AB$, $BC$, $CA$ проведены перпендикуляры, длины которых соответственно равны $m$, $n$, $k$. Найдите отношение площади треугольника $ABC$ к площади треугольника с вершинами в основаниях перпендикуляров.

Пусть дан равносторонний треугольник $ABC$ со стороной $a$ и высотой $h$. Пусть $P$ — точка внутри треугольника. Опустим из точки $P$ перпендикуляры на стороны треугольника: $PD$ на $AB$, $PE$ на $BC$ и $PF$ на $CA$. По условию, длины этих перпендикуляров равны $m, n, k$ соответственно, то есть $PD=m$, $PE=n$, $PF=k$. Треугольник с вершинами в основаниях этих перпендикуляров — это треугольник $DEF$. Нам нужно найти отношение площади $S_{ABC}$ к площади $S_{DEF}$.

Сначала выразим площадь треугольника $ABC$ через $m, n, k$.Согласно теореме Вивиани, для любой точки внутри равностороннего треугольника сумма расстояний от этой точки до сторон треугольника равна его высоте. Таким образом, $h = m+n+k$.Высота равностороннего треугольника связана с его стороной $a$ соотношением $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Отсюда можно выразить сторону $a$ через высоту: $a = \frac{2h}{\sqrt{3}}$.Подставим значение $h$: $a = \frac{2(m+n+k)}{\sqrt{3}}$.Площадь равностороннего треугольника $ABC$ вычисляется по формуле $S_{ABC} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$. Подставим в нее выражение для $a$:$S_{ABC} = \frac{1}{4} \left( \frac{2(m+n+k)}{\sqrt{3}} \right)^2 \sqrt{3} = \frac{1}{4} \frac{4(m+n+k)^2}{3} \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{3}(m+n+k)^2$.

Теперь найдем площадь треугольника $DEF$. Треугольник $DEF$ называется педальным треугольником точки $P$ относительно треугольника $ABC$. Его площадь $S_{DEF}$ связана с площадью $S_{ABC}$ формулой:$S_{DEF} = S_{ABC} \frac{|R^2 - OP^2|}{4R^2}$,где $O$ — центр описанной окружности треугольника $ABC$, $R$ — ее радиус, а $OP$ — расстояние от точки $P$ до центра $O$.Для равностороннего треугольника центр описанной окружности совпадает с центром тяжести (центроидом). Поместим начало координат в точку $O$.Радиус описанной окружности $R$ связан с высотой $h$ как $R = \frac{2}{3}h$. Поскольку $h = m+n+k$, получаем:$R = \frac{2}{3}(m+n+k)$, и $R^2 = \frac{4}{9}(m+n+k)^2$.

Чтобы найти $OP^2$, определим координаты точки $P(x_p, y_p)$. В выбранной системе координат с центром в $O(0,0)$ вершины треугольника $ABC$ можно расположить так: $A(0, R)$, $B(-\frac{a}{2}, -\frac{R}{2})$, $C(\frac{a}{2}, -\frac{R}{2})$. Уравнения прямых, содержащих стороны треугольника:$BC: y = -\frac{R}{2}$$AC: \sqrt{3}x + y - R = 0$$AB: -\sqrt{3}x + y - R = 0$Расстояния от точки $P(x_p, y_p)$ до этих сторон равны $n, k, m$:$n = |y_p - (-\frac{R}{2})| = y_p + \frac{R}{2}$ (так как $P$ выше стороны $BC$)$k = \frac{|\sqrt{3}x_p + y_p - R|}{2} = \frac{R - \sqrt{3}x_p - y_p}{2}$ (так как $P$ ниже стороны $AC$)$m = \frac{|-\sqrt{3}x_p + y_p - R|}{2} = \frac{R + \sqrt{3}x_p - y_p}{2}$ (так как $P$ ниже стороны $AB$)Из последних двух уравнений найдем $x_p$:$m-k = \frac{1}{2}((R + \sqrt{3}x_p - y_p) - (R - \sqrt{3}x_p - y_p)) = \frac{2\sqrt{3}x_p}{2} = \sqrt{3}x_p \implies x_p = \frac{m-k}{\sqrt{3}}$.Сложив эти же уравнения, найдем $y_p$:$m+k = \frac{1}{2}((R + \sqrt{3}x_p - y_p) + (R - \sqrt{3}x_p - y_p)) = \frac{2R-2y_p}{2} = R-y_p \implies y_p = R-(m+k)$.Проверим с помощью первого уравнения для $n$: $y_p = n - \frac{R}{2}$.$R-(m+k) = n - \frac{R}{2} \implies \frac{3}{2}R = m+n+k$.Так как $R = \frac{2}{3}(m+n+k)$, то $\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}(m+n+k) = m+n+k$, что является тождеством.Теперь вычислим $OP^2 = x_p^2 + y_p^2$:$OP^2 = \left(\frac{m-k}{\sqrt{3}}\right)^2 + (R - (m+k))^2 = \frac{(m-k)^2}{3} + \left(\frac{2}{3}(m+n+k) - (m+k)\right)^2$$OP^2 = \frac{m^2-2mk+k^2}{3} + \left(\frac{2m+2n+2k-3m-3k}{3}\right)^2 = \frac{m^2-2mk+k^2}{3} + \left(\frac{2n-m-k}{3}\right)^2$$OP^2 = \frac{3(m^2-2mk+k^2) + (4n^2+m^2+k^2-4nm-4nk+2mk)}{9} = \frac{3m^2-6mk+3k^2 + 4n^2+m^2+k^2-4nm-4nk+2mk}{9}$$OP^2 = \frac{4m^2+4n^2+4k^2-4mn-4nk-4mk}{9} = \frac{4}{9}(m^2+n^2+k^2 - mn - nk - km)$.

Теперь найдем разность $R^2 - OP^2$. Поскольку точка $P$ находится внутри треугольника, она также находится внутри описанной окружности, поэтому $R^2 > OP^2$.$R^2 - OP^2 = \frac{4}{9}(m+n+k)^2 - \frac{4}{9}(m^2+n^2+k^2 - mn - nk - km)$$R^2 - OP^2 = \frac{4}{9}((m^2+n^2+k^2+2mn+2nk+2km) - (m^2+n^2+k^2-mn-nk-km))$$R^2 - OP^2 = \frac{4}{9}(3mn+3nk+3km) = \frac{4}{3}(mn+nk+km)$.

Теперь мы можем найти отношение площадей:$\frac{S_{DEF}}{S_{ABC}} = \frac{R^2 - OP^2}{4R^2} = \frac{\frac{4}{3}(mn+nk+km)}{4 \cdot \frac{4}{9}(m+n+k)^2} = \frac{\frac{4}{3}(mn+nk+km)}{\frac{16}{9}(m+n+k)^2}$$\frac{S_{DEF}}{S_{ABC}} = \frac{4}{3} \cdot \frac{9}{16} \cdot \frac{mn+nk+km}{(m+n+k)^2} = \frac{3}{4} \frac{mn+nk+km}{(m+n+k)^2}$.Искомое отношение — это обратная величина:$\frac{S_{ABC}}{S_{DEF}} = \frac{4}{3} \frac{(m+n+k)^2}{mn+nk+km}$.

Ответ: $\frac{4(m+n+k)^2}{3(mn+nk+km)}$