Номер 5.34, страница 103 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.34. Докажите, что сумма расстояний от точки $X$, взятой внутри равностороннего треугольника $ABC$, до его сторон не зависит от точки $X$.

Это утверждение известно как теорема Вивиани. Докажем её, используя метод площадей.

Пусть дан равносторонний треугольник $ABC$ со стороной $a$. Выберем произвольную точку $X$ внутри этого треугольника. Обозначим расстояния от точки $X$ до сторон $BC$, $AC$ и $AB$ как $h_1$, $h_2$ и $h_3$ соответственно. Расстояние — это длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую.

Соединим точку $X$ с вершинами треугольника $A$, $B$ и $C$. Эти отрезки разделят исходный треугольник $ABC$ на три меньших треугольника: $\triangle AXB$, $\triangle BXC$ и $\triangle CXA$.

Очевидно, что площадь большого треугольника $S_{ABC}$ равна сумме площадей этих трех треугольников:
$S_{ABC} = S_{AXB} + S_{BXC} + S_{CXA}$

Площадь любого треугольника можно найти по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$. Применим эту формулу к каждому из трех малых треугольников. В качестве оснований возьмем стороны исходного треугольника $a$, а высотами будут являться перпендикуляры $h_1, h_2, h_3$.

• Для $\triangle BXC$: основание $BC=a$, высота равна $h_1$. Площадь $S_{BXC} = \frac{1}{2} a h_1$.
• Для $\triangle CXA$: основание $AC=a$, высота равна $h_2$. Площадь $S_{CXA} = \frac{1}{2} a h_2$.
• Для $\triangle AXB$: основание $AB=a$, высота равна $h_3$. Площадь $S_{AXB} = \frac{1}{2} a h_3$.

Теперь подставим выражения для площадей малых треугольников в общую формулу:
$S_{ABC} = \frac{1}{2} a h_1 + \frac{1}{2} a h_2 + \frac{1}{2} a h_3$
Вынесем общий множитель за скобки:
$S_{ABC} = \frac{1}{2} a (h_1 + h_2 + h_3)$

С другой стороны, площадь равностороннего треугольника $ABC$ можно выразить через его сторону $a$ и высоту $H$. Высота $H$ — это перпендикуляр, опущенный из любой вершины на противоположную сторону.
$S_{ABC} = \frac{1}{2} a H$

Приравняем два полученных выражения для площади $S_{ABC}$:
$\frac{1}{2} a (h_1 + h_2 + h_3) = \frac{1}{2} a H$

Поскольку длина стороны $a > 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $\frac{1}{2}a$:
$h_1 + h_2 + h_3 = H$

Таким образом, мы доказали, что сумма расстояний от любой внутренней точки $X$ до сторон равностороннего треугольника равна высоте этого треугольника $H$. Так как для заданного треугольника его высота $H$ является постоянной величиной (константой), то и сумма этих расстояний также является константой и не зависит от выбора точки $X$ внутри треугольника.

Ответ: Сумма расстояний от точки $X$, взятой внутри равностороннего треугольника, до его сторон равна высоте этого треугольника, а значит, является постоянной величиной и не зависит от положения точки $X$. Что и требовалось доказать.