Номер 5.36, страница 103 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.36. Площадь равнобедренной трапеции равна $S$, а угол между диагоналями, противолежащий боковой стороне, равен $\alpha$. Найдите высоту трапеции.

Решение:

Пусть дана равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, и боковыми сторонами $AB$ и $CD$. Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Площадь трапеции равна $S$. Угол между диагоналями, противолежащий боковой стороне, равен $\alpha$, то есть $\angle AOB = \angle COD = \alpha$. Требуется найти высоту трапеции $h$.

В равнобедренной трапеции диагонали равны ($AC = BD$), а также треугольники, образованные пересечением диагоналей и прилегающие к основаниям, являются равнобедренными. То есть $\triangle BOC$ и $\triangle AOD$ — равнобедренные, так как углы при основаниях трапеции равны, что приводит к равенству отрезков диагоналей: $AO = OD$ и $BO = OC$.

Углы $\angle AOB$ и $\angle BOC$ являются смежными для углов при вершине $O$ в треугольниках $\triangle AOB$ и $\triangle BOC$, но здесь они являются вертикальными и смежными углами, образованными пересечением двух прямых. Углы $\angle AOB$ и $\angle AOD$ являются смежными, их сумма равна $180^\circ$. Углы, противолежащие основаниям, равны между собой как вертикальные: $\angle BOC = \angle AOD$. Так как $\angle AOB = \alpha$, то смежный с ним угол $\angle AOD = 180^\circ - \alpha$. Следовательно, $\angle BOC = 180^\circ - \alpha$.

Проведем высоту трапеции $MN$ через точку пересечения диагоналей $O$ ($M \in BC$, $N \in AD$). Высота трапеции $h = MN = OM + ON$.

Рассмотрим равнобедренный треугольник $\triangle BOC$. $OM$ является его высотой, а значит, и медианой, и биссектрисой. Следовательно, $\angle COM = \frac{\angle BOC}{2} = \frac{180^\circ - \alpha}{2} = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}$.

Из прямоугольного треугольника $\triangle OCM$ находим $OM$:
$\frac{OM}{MC} = \cot(\angle COM) = \cot(90^\circ - \frac{\alpha}{2}) = \tan(\frac{\alpha}{2})$.
Отсюда $OM = MC \cdot \tan(\frac{\alpha}{2})$.

Аналогично, в равнобедренном треугольнике $\triangle AOD$ высота $ON$ является биссектрисой, и $\angle AON = \frac{\angle AOD}{2} = \frac{180^\circ - \alpha}{2} = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}$.
Из прямоугольного треугольника $\triangle OAN$ находим $ON$:
$\frac{ON}{AN} = \cot(\angle AON) = \cot(90^\circ - \frac{\alpha}{2}) = \tan(\frac{\alpha}{2})$.
Отсюда $ON = AN \cdot \tan(\frac{\alpha}{2})$.

Полная высота трапеции $h$ равна:
$h = OM + ON = MC \cdot \tan(\frac{\alpha}{2}) + AN \cdot \tan(\frac{\alpha}{2}) = (MC + AN) \tan(\frac{\alpha}{2})$.

Так как $OM$ и $ON$ являются медианами в треугольниках $\triangle BOC$ и $\triangle AOD$, то $MC = \frac{BC}{2}$ и $AN = \frac{AD}{2}$. Подставим это в выражение для высоты:
$h = (\frac{BC}{2} + \frac{AD}{2}) \tan(\frac{\alpha}{2}) = \frac{AD+BC}{2} \tan(\frac{\alpha}{2})$.

Выражение $\frac{AD+BC}{2}$ является средней линией трапеции. Обозначим ее как $m$.
Таким образом, $h = m \cdot \tan(\frac{\alpha}{2})$.

Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = m \cdot h$. У нас есть система из двух уравнений:
1) $h = m \cdot \tan(\frac{\alpha}{2})$
2) $S = m \cdot h$

Из второго уравнения выразим среднюю линию: $m = \frac{S}{h}$. Подставим это выражение в первое уравнение:
$h = \frac{S}{h} \cdot \tan(\frac{\alpha}{2})$.

Умножим обе части на $h$ (высота не может быть равна нулю):
$h^2 = S \cdot \tan(\frac{\alpha}{2})$.

Отсюда находим высоту $h$:
$h = \sqrt{S \tan(\frac{\alpha}{2})}$.

Ответ: $h = \sqrt{S \tan(\frac{\alpha}{2})}$.