Номер 5.35, страница 103 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.35. Две высоты треугольника не меньше сторон, к которым они проведены. Найдите углы треугольника.

Пусть стороны треугольника равны $a, b, c$, а высоты, проведенные к этим сторонам, равны $h_a, h_b, h_c$ соответственно. Углы, противолежащие сторонам $a, b, c$, обозначим как $α, β, γ$.

По условию, две высоты не меньше сторон, к которым они проведены. Без ограничения общности, пусть это будут высоты $h_a$ и $h_b$. Тогда мы имеем систему неравенств:

$h_a \geq a$

$h_b \geq b$

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой $h_a$, стороной $c$ и углом $β$. В этом треугольнике $h_a$ является катетом, а $c$ — гипотенузой. Связь между ними выражается формулой: $h_a = c \sin(β)$.

Подставим это выражение в первое неравенство $h_a \geq a$:

$c \sin(β) \geq a$

Воспользуемся теоремой синусов, согласно которой $\frac{a}{\sin(α)} = \frac{c}{\sin(γ)}$. Отсюда выразим сторону $a$: $a = c \frac{\sin(α)}{\sin(γ)}$.

Подставим это в наше неравенство:

$c \sin(β) \geq c \frac{\sin(α)}{\sin(γ)}$

Поскольку длина стороны $c > 0$, мы можем разделить обе части на $c$:

$\sin(β) \geq \frac{\sin(α)}{\sin(γ)}$

Так как $γ$ — угол треугольника, $\sin(γ) > 0$, поэтому мы можем умножить обе части на $\sin(γ)$, не меняя знака неравенства:

$\sin(β)\sin(γ) \geq \sin(α) \quad (1)$

Аналогично, для второго условия $h_b \geq b$ и формулы $h_b = c \sin(α)$ (или $h_b = a \sin(γ)$), мы получим:

$\sin(α)\sin(γ) \geq \sin(β) \quad (2)$

Теперь рассмотрим систему из двух неравенств:

$\begin{cases} \sin(β)\sin(γ) \geq \sin(α) \\ \sin(α)\sin(γ) \geq \sin(β) \end{cases}$

Поскольку $γ$ является углом треугольника, $0° < γ < 180°$, и, следовательно, $0 < \sin(γ) \leq 1$.

Из этого следует, что $\sin(α) \geq \sin(α)\sin(γ)$. Объединив это со вторым неравенством системы (2), получаем:

$\sin(α) \geq \sin(α)\sin(γ) \geq \sin(β)$, откуда следует, что $\sin(α) \geq \sin(β)$.

Аналогично, $\sin(β) \geq \sin(β)\sin(γ)$. Объединив это с первым неравенством (1), получаем:

$\sin(β) \geq \sin(β)\sin(γ) \geq \sin(α)$, откуда следует, что $\sin(β) \geq \sin(α)$.

Из двух полученных неравенств $\sin(α) \geq \sin(β)$ и $\sin(β) \geq \sin(α)$ следует, что $\sin(α) = \sin(β)$.

Для углов треугольника это равенство возможно, только если $α = β$ (случай $α = 180° - β$ невозможен, так как тогда $α + β = 180°$, и для третьего угла $γ$ не остается места). Это означает, что треугольник равнобедренный.

Теперь подставим $\sin(α) = \sin(β)$ в любое из исходных неравенств, например, в первое (1):

$\sin(α)\sin(γ) \geq \sin(α)$

Так как $α$ — угол треугольника, $\sin(α) > 0$, и мы можем разделить обе части на $\sin(α)$:

$\sin(γ) \geq 1$

Наибольшее значение функции синуса равно 1. Следовательно, единственно возможное решение — это $\sin(γ) = 1$, что означает $γ = 90°$.

Итак, мы имеем равнобедренный прямоугольный треугольник. Найдем остальные углы. Сумма углов треугольника равна $180°$:

$α + β + γ = 180°$

Поскольку $α = β$ и $γ = 90°$:

$2α + 90° = 180°$

$2α = 90°$

$α = 45°$

Таким образом, углы треугольника равны $45°, 45°, 90°$.

Проверка: В равнобедренном прямоугольном треугольнике катеты равны ($a=b$), а гипотенуза $c = a\sqrt{2}$. Высота, проведенная к катету $a$, равна другому катету $b$. Условие $h_a \geq a$ превращается в $b \geq a$, что верно, так как $a=b$. Аналогично, $h_b \geq b$ превращается в $a \geq b$, что также верно. Условия задачи выполнены.

Ответ: 45°, 45°, 90°.