Номер 5.32, страница 103 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.32. Вне треугольника $ABC$ на его сторонах $AB$ и $BC$ построены квадраты $ABFH$ и $BCDK$. Докажите, что продолжение медианы $BE$ треугольника $ABC$ является высотой треугольника $BFK$.

Доказательство:

Для доказательства воспользуемся методом векторной алгебры. Примем точку $B$ за начало отсчета векторов. Тогда векторы $\vec{BA}$ и $\vec{BC}$ определяют треугольник $ABC$.

$BE$ – медиана треугольника $ABC$, проведенная к стороне $AC$. Точка $E$ является серединой отрезка $AC$. Вектор медианы $\vec{BE}$ можно выразить через векторы сторон, исходящих из той же вершины:

$\vec{BE} = \frac{1}{2}(\vec{BA} + \vec{BC})$

Чтобы доказать, что продолжение медианы $BE$ является высотой треугольника $BFK$, нам нужно доказать, что прямая $BE$ перпендикулярна прямой $FK$. В терминах векторов это означает, что скалярное произведение векторов $\vec{BE}$ и $\vec{FK}$ равно нулю, то есть $\vec{BE} \cdot \vec{FK} = 0$.

Рассмотрим векторы $\vec{BF}$ и $\vec{BK}$. По условию, $ABFH$ и $BCDK$ – квадраты, построенные на сторонах $AB$ и $BC$ вне треугольника. Это означает, что векторы $\vec{BF}$ и $\vec{BK}$ получаются поворотом векторов $\vec{BA}$ и $\vec{BC}$ на угол $90^\circ$. Направление поворота зависит от ориентации вершин треугольника. Будем считать, что обход вершин $A, B, C$ происходит против часовой стрелки. В этом случае, для построения квадратов "вне" треугольника:

• вектор $\vec{BF}$ получается поворотом вектора $\vec{BA}$ на $90^\circ$ против часовой стрелки;
• вектор $\vec{BK}$ получается поворотом вектора $\vec{BC}$ на $90^\circ$ по часовой стрелке (или на $-90^\circ$).

Обозначим оператор поворота на $90^\circ$ против часовой стрелки как $R_{90}$ и по часовой стрелке как $R_{-90}$. Тогда мы можем записать:

$\vec{BF} = R_{90}(\vec{BA})$

$\vec{BK} = R_{-90}(\vec{BC})$

Теперь выразим вектор $\vec{FK}$ через векторы $\vec{BA}$ и $\vec{BC}$:

$\vec{FK} = \vec{BK} - \vec{BF} = R_{-90}(\vec{BC}) - R_{90}(\vec{BA})$

Вычислим скалярное произведение $\vec{BE} \cdot \vec{FK}$:

$\vec{BE} \cdot \vec{FK} = \frac{1}{2}(\vec{BA} + \vec{BC}) \cdot (R_{-90}(\vec{BC}) - R_{90}(\vec{BA}))$

Раскроем скобки по правилу умножения многочленов:

$\vec{BE} \cdot \vec{FK} = \frac{1}{2} ( \vec{BA} \cdot R_{-90}(\vec{BC}) - \vec{BA} \cdot R_{90}(\vec{BA}) + \vec{BC} \cdot R_{-90}(\vec{BC}) - \vec{BC} \cdot R_{90}(\vec{BA}) )$

При вычислении используем два свойства скалярного произведения и поворота. Во-первых, скалярное произведение вектора на его образ при повороте на $90^\circ$ равно нулю, так как векторы ортогональны. Следовательно, $\vec{BA} \cdot R_{90}(\vec{BA}) = 0$ и $\vec{BC} \cdot R_{-90}(\vec{BC}) = 0$. Во-вторых, для любых двух векторов $\vec{u}, \vec{v}$ и оператора поворота $R$ справедливо тождество $\vec{u} \cdot R(\vec{v}) = R^{-1}(\vec{u}) \cdot \vec{v}$. Применим это свойство к члену $\vec{BA} \cdot R_{-90}(\vec{BC})$. Здесь $R = R_{-90}$, а обратный поворот $R^{-1} = R_{90}$. Получаем: $\vec{BA} \cdot R_{-90}(\vec{BC}) = R_{90}(\vec{BA}) \cdot \vec{BC}$.

Подставив эти результаты в наше выражение, получим:

$\vec{BE} \cdot \vec{FK} = \frac{1}{2} ( (R_{90}(\vec{BA}) \cdot \vec{BC}) - 0 + 0 - (\vec{BC} \cdot R_{90}(\vec{BA})) )$

$\vec{BE} \cdot \vec{FK} = \frac{1}{2} ( R_{90}(\vec{BA}) \cdot \vec{BC} - \vec{BC} \cdot R_{90}(\vec{BA}) )$

Поскольку скалярное произведение коммутативно (то есть $\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}$), то $R_{90}(\vec{BA}) \cdot \vec{BC} = \vec{BC} \cdot R_{90}(\vec{BA})$. Таким образом, мы вычитаем из величины саму себя, и разность равна нулю:

$\vec{BE} \cdot \vec{FK} = \frac{1}{2} (0) = 0$

Скалярное произведение векторов $\vec{BE}$ и $\vec{FK}$ равно нулю, следовательно, эти векторы перпендикулярны. Это означает, что прямая $BE$ перпендикулярна прямой $FK$, то есть продолжение медианы $BE$ является высотой треугольника $BFK$.

Ответ: Что и требовалось доказать.