Номер 5.33, страница 103 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

Раздел 5*. Дополнительные задачи повышенной трудности - номер 5.33, страница 103.

Учебник rus.

5.33. В треугольнике ABC $\angle B=90^\circ$. На катете BC взяты точки D и E так, что отрезки AD и AE делят угол A на три равные части. Найдите $S_{ADB}:S_{AEB}$, если $AD=a, AE=b$.

Учебник kz.

Решение.

Решение 2 rus.

Пусть в треугольнике $ABC$ с прямым углом $B$ отрезки $AD$ и $AE$ делят угол $A$ на три равные части. Обозначим $\angle BAD = \angle DAE = \angle EAC = \alpha$.Из условия задачи имеем $AD = a$ и $AE = b$.

Площади треугольников $ADB$ и $AEB$ можно выразить через формулу $S = \frac{1}{2}xy\sin(\gamma)$, где $x, y$ — стороны треугольника, а $\gamma$ — угол между ними. Оба треугольника $ADB$ и $AEB$ содержат общий катет $AB$.

Для треугольника $ADB$ (также обозначаемого $ABD$), площадь $S_{ADB}$ равна:$S_{ADB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD \cdot \sin(\angle BAD) = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot a \cdot \sin(\alpha)$

Для треугольника $AEB$ (также обозначаемого $ABE$), $\angle BAE = \angle BAD + \angle DAE = 2\alpha$. Его площадь $S_{AEB}$ равна:$S_{AEB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AE \cdot \sin(\angle BAE) = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot b \cdot \sin(2\alpha)$

Теперь найдем искомое отношение площадей $S_{ADB} : S_{AEB}$:$\frac{S_{ADB}}{S_{AEB}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot AB \cdot a \cdot \sin(\alpha)}{\frac{1}{2} \cdot AB \cdot b \cdot \sin(2\alpha)} = \frac{a \sin(\alpha)}{b \sin(2\alpha)}$

Используем формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)$. Предполагая, что $\alpha \neq 0$, а значит и $\sin(\alpha) \neq 0$, получаем:$\frac{S_{ADB}}{S_{AEB}} = \frac{a \sin(\alpha)}{b \cdot 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)} = \frac{a}{2b\cos(\alpha)}$

Чтобы найти значение $\cos(\alpha)$, воспользуемся прямоугольными треугольниками $ABD$ и $ABE$. В обоих треугольниках катет $AB$ является общим.

Из прямоугольного треугольника $ABD$ ($\angle B = 90^\circ$):$AB = AD \cdot \cos(\angle BAD) = a \cdot \cos(\alpha)$

Из прямоугольного треугольника $ABE$ ($\angle B = 90^\circ$):$AB = AE \cdot \cos(\angle BAE) = b \cdot \cos(2\alpha)$

Приравнивая два выражения для $AB$, получаем уравнение:$a \cdot \cos(\alpha) = b \cdot \cos(2\alpha)$

Применим формулу косинуса двойного угла $\cos(2\alpha) = 2\cos^2(\alpha) - 1$:$a \cdot \cos(\alpha) = b \cdot (2\cos^2(\alpha) - 1)$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение относительно $\cos(\alpha)$:$2b\cos^2(\alpha) - a\cos(\alpha) - b = 0$

Решим это уравнение с помощью формулы для корней квадратного уравнения. Пусть $x = \cos(\alpha)$:$x = \frac{-(-a) \pm \sqrt{(-a)^2 - 4(2b)(-b)}}{2(2b)} = \frac{a \pm \sqrt{a^2 + 8b^2}}{4b}$

Поскольку $\alpha$ — это острый угол ($3\alpha < 90^\circ$), его косинус должен быть положительным ($\cos(\alpha) > 0$). Так как $\sqrt{a^2 + 8b^2} > \sqrt{a^2} = a$, корень со знаком "минус" даст отрицательное значение. Следовательно, мы должны выбрать корень со знаком "плюс":$\cos(\alpha) = \frac{a + \sqrt{a^2 + 8b^2}}{4b}$

Наконец, подставим найденное выражение для $\cos(\alpha)$ в формулу для отношения площадей:$\frac{S_{ADB}}{S_{AEB}} = \frac{a}{2b\cos(\alpha)} = \frac{a}{2b \cdot \frac{a + \sqrt{a^2 + 8b^2}}{4b}} = \frac{a}{\frac{a + \sqrt{a^2 + 8b^2}}{2}}$

Упрощая дробь, получаем окончательный результат:$\frac{S_{ADB}}{S_{AEB}} = \frac{2a}{a + \sqrt{a^2 + 8b^2}}$

Ответ: $\frac{2a}{a + \sqrt{a^2 + 8b^2}}$