Номер 5.37, страница 103 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.37. Внутри равностороннего треугольника ABC взята точка X, проекциями которой на высотах AD, BE и CF являются соответственно точки K, P и Q. Докажите, что сумма $AK + BP + CQ$ не зависит от положения точки X.

Пусть сторона равностороннего треугольника $ABC$ равна $a$, а его высота равна $h$. Высоты в равностороннем треугольнике равны, то есть $AD = BE = CF = h$. Известно, что $h = a \sin(60^\circ) = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Для доказательства утверждения введем систему координат. Это позволит нам выразить искомую сумму через координаты точки $X$ и убедиться, что она от них не зависит.

Расположим систему координат так, чтобы основание $BC$ лежало на оси абсцисс, а его середина, точка $D$, совпадала с началом координат $(0,0)$. Тогда вершины треугольника будут иметь следующие координаты:

• $D = (0, 0)$
• $B = (-\frac{a}{2}, 0)$
• $C = (\frac{a}{2}, 0)$
• $A = (0, h)$

Пусть произвольная точка $X$ внутри треугольника имеет координаты $(x_0, y_0)$.

Теперь найдем длины отрезков $AK$, $BP$ и $CQ$.

1. Длина отрезка AK

Высота $AD$ лежит на оси ординат (прямая $x=0$). Точка $K$ является проекцией точки $X(x_0, y_0)$ на ось ординат, следовательно, ее координаты $K = (0, y_0)$. Точка $A$ имеет координаты $(0, h)$. Длина отрезка $AK$ равна расстоянию между точками $A$ и $K$: $AK = \sqrt{(0-0)^2 + (h-y_0)^2} = |h - y_0|$. Поскольку точка $X$ находится внутри треугольника, ее ордината $y_0$ меньше высоты $h$, поэтому $h - y_0 > 0$. Таким образом, $AK = h - y_0$.

2. Длина отрезка BP

Высота $BE$ проходит через вершину $B(-\frac{a}{2}, 0)$ и перпендикулярна стороне $AC$. Найдем угловой коэффициент прямой $AC$. Точки $A(0, h)$ и $C(\frac{a}{2}, 0)$. $k_{AC} = \frac{0 - h}{\frac{a}{2} - 0} = \frac{-h}{a/2} = \frac{-a\sqrt{3}/2}{a/2} = -\sqrt{3}$. Прямая $BE$ перпендикулярна $AC$, поэтому ее угловой коэффициент $k_{BE} = -\frac{1}{k_{AC}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$. Это соответствует углу наклона прямой $BE$ к оси абсцисс в $30^\circ$.

Длина отрезка $BP$ — это длина проекции вектора $\vec{BX}$ на направление высоты $BE$. Найдем вектор $\vec{BX}$: $\vec{BX} = (x_0 - (-\frac{a}{2}), y_0 - 0) = (x_0 + \frac{a}{2}, y_0)$. Единичный вектор $\vec{u}_{BE}$, задающий направление от $B$ к $E$, имеет координаты $(\cos 30^\circ, \sin 30^\circ) = (\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$. Длина $BP$ равна скалярному произведению $\vec{BX}$ на $\vec{u}_{BE}$: $BP = \vec{BX} \cdot \vec{u}_{BE} = (x_0 + \frac{a}{2}) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + y_0 \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}x_0 + \frac{a\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{2}y_0$.

3. Длина отрезка CQ

Высота $CF$ проходит через вершину $C(\frac{a}{2}, 0)$ и перпендикулярна стороне $AB$. Найдем угловой коэффициент прямой $AB$. Точки $A(0, h)$ и $B(-\frac{a}{2}, 0)$. $k_{AB} = \frac{0 - h}{-\frac{a}{2} - 0} = \frac{-h}{-a/2} = \frac{a\sqrt{3}/2}{a/2} = \sqrt{3}$. Прямая $CF$ перпендикулярна $AB$, поэтому ее угловой коэффициент $k_{CF} = -\frac{1}{k_{AB}} = -\frac{1}{\sqrt{3}}$. Это соответствует углу наклона прямой $CF$ к оси абсцисс в $150^\circ$.

Длина отрезка $CQ$ — это длина проекции вектора $\vec{CX}$ на направление высоты $CF$. Найдем вектор $\vec{CX}$: $\vec{CX} = (x_0 - \frac{a}{2}, y_0 - 0) = (x_0 - \frac{a}{2}, y_0)$. Единичный вектор $\vec{u}_{CF}$, задающий направление от $C$ к $F$, имеет координаты $(\cos 150^\circ, \sin 150^\circ) = (-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$. Длина $CQ$ равна скалярному произведению $\vec{CX}$ на $\vec{u}_{CF}$: $CQ = \vec{CX} \cdot \vec{u}_{CF} = (x_0 - \frac{a}{2}) \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) + y_0 \cdot \frac{1}{2} = -\frac{\sqrt{3}}{2}x_0 + \frac{a\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{2}y_0$.

4. Сумма длин AK + BP + CQ

Теперь сложим полученные выражения для длин отрезков: $S = AK + BP + CQ = (h - y_0) + (\frac{\sqrt{3}}{2}x_0 + \frac{a\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{2}y_0) + (-\frac{\sqrt{3}}{2}x_0 + \frac{a\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{2}y_0)$.

Сгруппируем слагаемые: $S = h + (\frac{a\sqrt{3}}{4} + \frac{a\sqrt{3}}{4}) + (\frac{\sqrt{3}}{2}x_0 - \frac{\sqrt{3}}{2}x_0) + (-y_0 + \frac{1}{2}y_0 + \frac{1}{2}y_0)$.

$S = h + \frac{2a\sqrt{3}}{4} + 0 + 0 = h + \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Так как высота $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$, то $S = h + h = 2h$.

Полученное значение $2h$ зависит только от высоты (а значит, и от стороны) треугольника $ABC$ и не зависит от координат $(x_0, y_0)$ точки $X$. Следовательно, сумма $AK + BP + CQ$ не зависит от положения точки $X$ внутри треугольника.

Ответ: Сумма $AK + BP + CQ$ не зависит от положения точки $X$ и равна удвоенной высоте треугольника ($2h$).