Номер 5.38, страница 103 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.38. Докажите, что во всяком треугольнике сумма его медиан меньше периметра треугольника, но больше полупериметра.

Пусть дан произвольный треугольник со сторонами $a, b, c$ и медианами $m_a, m_b, m_c$, проведенными к этим сторонам соответственно. Периметр треугольника $P = a+b+c$, а полупериметр $p = \frac{P}{2} = \frac{a+b+c}{2}$. Необходимо доказать, что $p < m_a+m_b+m_c < P$, то есть $\frac{a+b+c}{2} < m_a+m_b+m_c < a+b+c$. Докажем каждое неравенство отдельно.

Сумма медиан меньше периметра треугольника

Докажем неравенство $m_a+m_b+m_c < a+b+c$. Рассмотрим треугольник $ABC$ со сторонами $a, b, c$. Проведем медиану $m_a = AA_1$. На луче $AA_1$ отложим отрезок $A_1D$, равный $AA_1$. Таким образом, $AD = 2m_a$. Четырехугольник $ABDC$ является параллелограммом, так как его диагонали $BC$ и $AD$ точкой пересечения $A_1$ делятся пополам. По свойству параллелограмма, противолежащие стороны равны: $AC=BD=b$ и $AB=CD=c$. Рассмотрим треугольник $ABD$. Согласно неравенству треугольника, любая сторона меньше суммы двух других. Следовательно, $AD < AB + BD$. Подставив длины сторон, получаем: $2m_a < c+b$, или $m_a < \frac{b+c}{2}$.

Аналогично для двух других медиан получаем неравенства $m_b < \frac{a+c}{2}$ и $m_c < \frac{a+b}{2}$. Сложив эти три неравенства, имеем:

$m_a + m_b + m_c < \frac{b+c}{2} + \frac{a+c}{2} + \frac{a+b}{2} = \frac{2a+2b+2c}{2} = a+b+c$

Таким образом, доказано, что $m_a + m_b + m_c < a+b+c$.

Ответ: $m_a + m_b + m_c < a+b+c$.

Сумма медиан больше полупериметра

Докажем неравенство $m_a+m_b+m_c > \frac{a+b+c}{2}$. Пусть $G$ — точка пересечения медиан треугольника $ABC$ (центроид). По свойству медиан, они делятся точкой пересечения в отношении 2:1, считая от вершины. Таким образом, $AG=\frac{2}{3}m_a$, $BG=\frac{2}{3}m_b$, $CG=\frac{2}{3}m_c$.

Применим неравенство треугольника к трем треугольникам, образованным с участием точки $G$:

В $\triangle ABG$: $AG + BG > AB \implies \frac{2}{3}m_a + \frac{2}{3}m_b > c$

В $\triangle BCG$: $BG + CG > BC \implies \frac{2}{3}m_b + \frac{2}{3}m_c > a$

В $\triangle ACG$: $AG + CG > AC \implies \frac{2}{3}m_a + \frac{2}{3}m_c > b$

Сложим три полученных неравенства:

$(\frac{2}{3}m_a + \frac{2}{3}m_b) + (\frac{2}{3}m_b + \frac{2}{3}m_c) + (\frac{2}{3}m_a + \frac{2}{3}m_c) > a+b+c$

$\frac{4}{3}(m_a+m_b+m_c) > a+b+c$

Умножив обе части на $\frac{3}{4}$, получим: $m_a+m_b+m_c > \frac{3}{4}(a+b+c)$.

Поскольку $\frac{3}{4} > \frac{1}{2}$, то доказанное неравенство является более сильным, и из него следует требуемое:

$m_a+m_b+m_c > \frac{1}{2}(a+b+c)$.

Ответ: $m_a + m_b + m_c > \frac{a+b+c}{2}$.