Номер 5.39, страница 103 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.39. Внутри прямоугольника ABCD, площадь которого равна S, взята точка X. Докажите неравенство $S \le AX \cdot CX + BX \cdot DX$.

Для доказательства данного неравенства воспользуемся методом геометрических построений, а именно, параллельным переносом.

1. Рассмотрим треугольник $\triangle AXB$. Выполним его параллельный перенос на вектор $\vec{AD}$. При таком переносе каждая точка смещается в том же направлении и на то же расстояние, что и от точки A до точки D.

2. В результате этого переноса вершина A прямоугольника перейдет в вершину D, а вершина B — в вершину C. Точка X перейдет в некоторую новую точку Y. Таким образом, мы получаем треугольник $\triangle DYC$, который конгруэнтен (равен) треугольнику $\triangle AXB$.

3. Из конгруэнтности треугольников $\triangle AXB$ и $\triangle DYC$ следует равенство их соответствующих сторон:

• $AX = DY$
• $BX = CY$

4. Теперь рассмотрим четырехугольник $XCYD$. Его сторонами являются отрезки $XC$, $CY$, $YD$ и $DX$. С учетом равенств, полученных на предыдущем шаге, длины его сторон равны $CX$, $BX$, $AX$ и $DX$.

5. Диагоналями этого четырехугольника являются отрезки $CD$ и $XY$.

• Длина диагонали $CD$ — это одна из сторон прямоугольника. Обозначим $CD = a$.
• Поскольку точка Y была получена из точки X параллельным переносом на вектор $\vec{AD}$, то вектор $\vec{XY}$ равен вектору $\vec{AD}$. Следовательно, длина диагонали $XY$ равна длине стороны $AD$. Обозначим $AD = b$.

6. Для любого выпуклого или невыпуклого четырехугольника справедливо неравенство Птолемея, которое утверждает, что сумма произведений длин противоположных сторон не меньше произведения длин диагоналей. Для четырехугольника $XCYD$ оно выглядит так:

$XC \cdot YD + CY \cdot DX \ge CD \cdot XY$

7. Подставим в это неравенство длины отрезков, выраженные через исходные данные из условия задачи:

$CX \cdot AX + BX \cdot DX \ge a \cdot b$

8. Площадь прямоугольника $ABCD$ равна произведению длин его смежных сторон: $S = AD \cdot CD = b \cdot a$.

Таким образом, мы получили неравенство:

$AX \cdot CX + BX \cdot DX \ge S$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство $S \le AX \cdot CX + BX \cdot DX$ доказано с помощью параллельного переноса треугольника $\triangle AXB$ и применения неравенства Птолемея к построенному четырехугольнику $XCYD$.