Номер 5.27, страница 103 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.27. В четырехугольнике $ABCD$ $ \angle BAC=40^\circ $, $ \angle BCA=70^\circ $, $ \angle BDC=20^\circ $, $ \angle BDA=35^\circ $. Найдите угол между диагоналями четырехугольника.

Пусть диагонали $AC$ и $BD$ четырехугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Искомый угол — это острый угол между диагоналями, например, $\angle BOC$.

Сначала рассмотрим треугольник $ABC$. По условию, $\angle BAC = 40^\circ$ и $\angle BCA = 70^\circ$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому третий угол $\angle ABC$ равен:
$\angle ABC = 180^\circ - (\angle BAC + \angle BCA) = 180^\circ - (40^\circ + 70^\circ) = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$.
Так как $\angle ABC = \angle BCA = 70^\circ$, треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $BC$, откуда следует, что $AB = AC$.

Теперь обратим внимание на ключевое соотношение между углами, данными в условии: $\angle BAC = 40^\circ$ и $\angle BDC = 20^\circ$. Можно заметить, что $\angle BAC = 2 \cdot \angle BDC$.
Это свойство связывает центральный и вписанный углы в окружности, опирающиеся на одну дугу. Это позволяет предположить, что точка $A$ является центром окружности, описанной около треугольника $BDC$.
Если это предположение верно, то отрезки $AB, AC, AD$ должны быть равны как радиусы этой окружности: $AB = AC = AD$.

Проверим, согласуется ли это предположение с остальными данными задачи.
Мы уже установили, что $AB = AC$.
Если $AB = AD$, то треугольник $ABD$ — равнобедренный. По условию $\angle BDA = 35^\circ$, следовательно, угол при основании $\angle ABD$ также должен быть равен $35^\circ$.
Тогда угол при вершине $A$ в треугольнике $ABD$ составляет $\angle BAD = 180^\circ - (35^\circ + 35^\circ) = 110^\circ$.
Если $AC = AD$, то треугольник $ACD$ — равнобедренный. Угол при вершине $\angle CAD$ равен $\angle BAD - \angle BAC = 110^\circ - 40^\circ = 70^\circ$. Тогда углы при основании $CD$ равны: $\angle ACD = \angle ADC = (180^\circ - 70^\circ)/2 = 55^\circ$.
Проверим полное значение угла при вершине $D$ четырехугольника: $\angle ADC = \angle BDA + \angle BDC = 35^\circ + 20^\circ = 55^\circ$. Это значение совпадает с тем, что мы рассчитали для равнобедренного треугольника $ACD$.
Все условия задачи выполняются, значит, наше предположение было верным.

Теперь, зная все необходимые углы, мы можем найти угол между диагоналями. Рассмотрим треугольник $AOB$, образованный пересечением диагоналей.
- $\angle OAB = \angle BAC = 40^\circ$ (из условия).
- $\angle OBA = \angle ABD = 35^\circ$ (из равнобедренного $\triangle ABD$).
Сумма углов в $\triangle AOB$ равна $180^\circ$, поэтому угол $\angle AOB$ равен:
$\angle AOB = 180^\circ - (\angle OAB + \angle OBA) = 180^\circ - (40^\circ + 35^\circ) = 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ$.

Углы между диагоналями — это пара смежных углов, $\angle AOB$ и $\angle BOC$. Если $\angle AOB = 105^\circ$, то $\angle BOC = 180^\circ - 105^\circ = 75^\circ$. Углом между прямыми принято считать острый угол.

Ответ: $75^\circ$.