Номер 5.26, страница 102 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.26. В выпуклом четырехугольнике $ABCD$ $\angle BAC=20^{\circ}$, $\angle BCA=35^{\circ}$, $\angle BDC=40^{\circ}$, $\angle BDA=70^{\circ}$. Найдите угол между диагоналями четырехугольника.

Пусть диагонали четырехугольника $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Мы ищем один из углов при их пересечении, например, $\angle AOD$.

Для решения задачи воспользуемся методом, который заключается в выдвижении гипотезы о свойстве фигуры, проверке ее состоятельности и, в случае успеха, использовании этого свойства для нахождения ответа. Зачастую в задачах с "хорошими" числами углов скрыта простая геометрическая конфигурация.

Решение:

Дано: $\angle BAC = 20^\circ$, $\angle BCA = 35^\circ$, $\angle BDC = 40^\circ$, $\angle BDA = 70^\circ$.

1. Выдвинем гипотезу.

Предположим, что треугольник $ADC$ является равнобедренным с основанием $AC$, то есть $AD = CD$.

2. Проверим следствия из гипотезы.

Если $AD = CD$, то углы при основании $AC$ в треугольнике $ADC$ должны быть равны: $\angle CAD = \angle ACD$.

Найдем угол $\angle ADC$ как сумму двух данных углов:

$\angle ADC = \angle BDA + \angle BDC = 70^\circ + 40^\circ = 110^\circ$.

Сумма углов в треугольнике $ADC$ равна $180^\circ$. Тогда:

$\angle CAD + \angle ACD + \angle ADC = 180^\circ$

$2 \cdot \angle CAD + 110^\circ = 180^\circ$

$2 \cdot \angle CAD = 70^\circ$

$\angle CAD = 35^\circ$.

Итак, из нашей гипотезы следует, что $\angle CAD = \angle ACD = 35^\circ$.

3. Проверим состоятельность гипотезы (согласуется ли она с остальными данными).

Теперь, используя найденные углы, мы можем определить все углы в четырехугольнике.

Найдем углы в треугольнике $ABD$:

• $\angle BDA = 70^\circ$ (дано).
• $\angle BAD = \angle BAC + \angle CAD = 20^\circ + 35^\circ = 55^\circ$.
• $\angle ABD = 180^\circ - (\angle BDA + \angle BAD) = 180^\circ - (70^\circ + 55^\circ) = 180^\circ - 125^\circ = 55^\circ$.

Найдем углы в треугольнике $BCD$:

• $\angle BDC = 40^\circ$ (дано).
• $\angle BCD = \angle BCA + \angle ACD = 35^\circ + 35^\circ = 70^\circ$.
• $\angle CBD = 180^\circ - (\angle BDC + \angle BCD) = 180^\circ - (40^\circ + 70^\circ) = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$.

Теперь проверим, согласуются ли эти выводы с данными для треугольника $ABC$.

Найдем угол $\angle ABC$ как сумму найденных углов $\angle ABD$ и $\angle CBD$:

$\angle ABC = \angle ABD + \angle CBD = 55^\circ + 70^\circ = 125^\circ$.

А теперь найдем $\angle ABC$ из данных для треугольника $ABC$:

$\angle ABC = 180^\circ - (\angle BAC + \angle BCA) = 180^\circ - (20^\circ + 35^\circ) = 180^\circ - 55^\circ = 125^\circ$.

Результаты совпали. Это означает, что наша гипотеза $AD=CD$ верна и не противоречит ни одному из условий задачи.

(Для полной строгости можно проверить выполнение синусовой теоремы Чевы для точки O, что также подтвердит верность найденных углов: $\frac{\sin(\angle OAB)}{\sin(\angle OAD)} \cdot \frac{\sin(\angle ODA)}{\sin(\angle ODC)} \cdot \frac{\sin(\angle OCD)}{\sin(\angle OCB)} \cdot \frac{\sin(\angle OBC)}{\sin(\angle OBA)} = \frac{\sin(20^\circ)}{\sin(35^\circ)} \cdot \frac{\sin(70^\circ)}{\sin(40^\circ)} \cdot \frac{\sin(35^\circ)}{\sin(35^\circ)} \cdot \frac{\sin(70^\circ)}{\sin(55^\circ)} = 1$. Это выражение действительно равно 1, что доказывает правильность конфигурации).

4. Найдем искомый угол.

Нам нужно найти угол между диагоналями $AC$ и $BD$. Найдем, например, угол $\angle AOD$ из треугольника $AOD$.

В треугольнике $AOD$ нам известны два угла:

• $\angle OAD = \angle CAD = 35^\circ$.
• $\angle ODA = \angle BDA = 70^\circ$.

Тогда третий угол в этом треугольнике равен:

$\angle AOD = 180^\circ - (\angle OAD + \angle ODA) = 180^\circ - (35^\circ + 70^\circ) = 180^\circ - 105^\circ = 75^\circ$.

Смежный с ним угол $\angle COD$ будет равен $180^\circ - 75^\circ = 105^\circ$. Угол между прямыми принято считать острый угол, если не оговорено иное.

Ответ: Угол между диагоналями четырехугольника равен $75^\circ$.