Страница 93 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.14. Докажите, что четырехугольник ABCD с вершинами в точках $A(-1; 2)$, $B(2; 5)$, $C(2; 1)$, $D(-1; -2)$ является параллелограммом.

Для доказательства того, что четырехугольник ABCD является параллелограммом, необходимо показать, что выполняется один из признаков параллелограмма. Рассмотрим несколько способов доказательства.

Способ 1: Равенство и параллельность противоположных сторон (векторный метод)

Четырехугольник является параллелограммом, если векторы, образующие его противоположные стороны, равны. Равенство векторов означает, что они не только равны по длине, но и параллельны и одинаково направлены. Проверим, выполняется ли равенство $\vec{AB} = \vec{DC}$.

Координаты вектора, заданного двумя точками $M_1(x_1, y_1)$ и $M_2(x_2, y_2)$, вычисляются по формуле: $\vec{M_1M_2} = (x_2 - x_1; y_2 - y_1)$.

Найдем координаты вектора $\vec{AB}$, используя координаты точек A(-1; 2) и B(2; 5):
$\vec{AB} = (2 - (-1); 5 - 2) = (3; 3)$.

Найдем координаты вектора $\vec{DC}$, используя координаты точек D(-1; -2) и C(2; 1):
$\vec{DC} = (2 - (-1); 1 - (-2)) = (3; 3)$.

Поскольку $\vec{AB} = (3; 3)$ и $\vec{DC} = (3; 3)$, то векторы равны. Это означает, что стороны AB и DC параллельны и равны по длине. Согласно признаку параллелограмма (если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны), четырехугольник ABCD является параллелограммом.

Способ 2: Попарное равенство противоположных сторон (через длины)

Четырехугольник является параллелограммом, если его противоположные стороны попарно равны. Найдем длины всех сторон четырехугольника по формуле расстояния между двумя точками $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$.

Длина стороны AB:
$|AB| = \sqrt{(2 - (-1))^2 + (5 - 2)^2} = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18}$.

Длина стороны DC:
$|DC| = \sqrt{(2 - (-1))^2 + (1 - (-2))^2} = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18}$.

Видим, что $|AB| = |DC|$.

Длина стороны BC:
$|BC| = \sqrt{(2 - 2)^2 + (1 - 5)^2} = \sqrt{0^2 + (-4)^2} = \sqrt{0 + 16} = \sqrt{16} = 4$.

Длина стороны AD:
$|AD| = \sqrt{(-1 - (-1))^2 + (-2 - 2)^2} = \sqrt{0^2 + (-4)^2} = \sqrt{0 + 16} = \sqrt{16} = 4$.

Видим, что $|BC| = |AD|$.

Так как противоположные стороны четырехугольника попарно равны ($|AB| = |DC|$ и $|BC| = |AD|$), то ABCD — параллелограмм.

Способ 3: Пересечение диагоналей в одной точке и деление их пополам

Четырехугольник является параллелограммом, если его диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Это эквивалентно тому, что середины диагоналей совпадают. Найдем координаты середин диагоналей AC и BD по формуле $M(\frac{x_1+x_2}{2}; \frac{y_1+y_2}{2})$.

Найдем координаты середины диагонали AC (назовем ее точкой O):
$x_O = \frac{x_A + x_C}{2} = \frac{-1 + 2}{2} = \frac{1}{2}$
$y_O = \frac{y_A + y_C}{2} = \frac{2 + 1}{2} = \frac{3}{2}$
Координаты середины AC: $O(\frac{1}{2}; \frac{3}{2})$.

Найдем координаты середины диагонали BD (назовем ее точкой P):
$x_P = \frac{x_B + x_D}{2} = \frac{2 + (-1)}{2} = \frac{1}{2}$
$y_P = \frac{y_B + y_D}{2} = \frac{5 + (-2)}{2} = \frac{3}{2}$
Координаты середины BD: $P(\frac{1}{2}; \frac{3}{2})$.

Поскольку координаты середин диагоналей AC и BD совпадают ($O=P$), диагонали пересекаются в одной точке и делятся ею пополам. Следовательно, ABCD — параллелограмм.

Ответ: Четырехугольник ABCD является параллелограммом, так как выполняются признаки параллелограмма: его противоположные стороны равны и параллельны (векторы $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$ равны), а его диагонали AC и BD пересекаются в одной точке $(\frac{1}{2}; \frac{3}{2})$ и делятся ею пополам. Что и требовалось доказать.

4.15. Даны точки $A_1, A_2, A_3, A_4, A_5, A_6$, лежащие на одной прямой и удовлетворяющие условию $A_1A_2 = A_2A_3 = A_3A_4 = A_4A_5 = A_5A_6$. Найдите координаты точек, если $A_2(5; 5)$ и $A_5(-1; 7)$.

Поскольку точки $A_1, A_2, A_3, A_4, A_5, A_6$ лежат на одной прямой и удовлетворяют условию $A_1A_2 = A_2A_3 = A_3A_4 = A_4A_5 = A_5A_6$, они расположены на равном расстоянии друг от друга. Это означает, что векторы, соединяющие соседние точки, равны. Обозначим этот постоянный вектор как $\vec{d}$:
$\vec{d} = \vec{A_1A_2} = \vec{A_2A_3} = \dots = \vec{A_5A_6}$.

Используя известные координаты точек $A_2(5; 5)$ и $A_5(-1; 7)$, мы можем найти вектор $\vec{A_2A_5}$. Этот вектор равен сумме трех векторов $\vec{d}$:
$\vec{A_2A_5} = \vec{A_2A_3} + \vec{A_3A_4} + \vec{A_4A_5} = 3\vec{d}$.

Координаты вектора $\vec{A_2A_5}$ вычисляются как разность координат его конечной и начальной точек:
$\vec{A_2A_5} = (x_{A_5} - x_{A_2}; y_{A_5} - y_{A_2}) = (-1 - 5; 7 - 5) = (-6; 2)$.

Теперь мы можем найти вектор $\vec{d}$:
$3\vec{d} = (-6; 2)$
$\vec{d} = (\frac{-6}{3}; \frac{2}{3}) = (-2; \frac{2}{3})$.

Зная вектор $\vec{d}$, найдем координаты остальных точек. Координаты точки $A_{n+1}$ получаются прибавлением координат вектора $\vec{d}$ к координатам точки $A_n$, а координаты $A_{n-1}$ — вычитанием.

Координаты точки $A_1$:
$\vec{OA_1} = \vec{OA_2} - \vec{d} \Rightarrow A_1 = (5 - (-2); 5 - \frac{2}{3}) = (7; \frac{15}{3} - \frac{2}{3}) = (7; \frac{13}{3})$.

Координаты точки $A_3$:
$\vec{OA_3} = \vec{OA_2} + \vec{d} \Rightarrow A_3 = (5 + (-2); 5 + \frac{2}{3}) = (3; \frac{15}{3} + \frac{2}{3}) = (3; \frac{17}{3})$.

Координаты точки $A_4$:
$\vec{OA_4} = \vec{OA_3} + \vec{d} \Rightarrow A_4 = (3 + (-2); \frac{17}{3} + \frac{2}{3}) = (1; \frac{19}{3})$.

Координаты точки $A_6$:
$\vec{OA_6} = \vec{OA_5} + \vec{d} \Rightarrow A_6 = (-1 + (-2); 7 + \frac{2}{3}) = (-3; \frac{21}{3} + \frac{2}{3}) = (-3; \frac{23}{3})$.

Ответ: $A_1(7; \frac{13}{3})$, $A_2(5; 5)$, $A_3(3; \frac{17}{3})$, $A_4(1; \frac{19}{3})$, $A_5(-1; 7)$, $A_6(-3; \frac{23}{3})$.

4.16. Найдите координаты точки пересечения медиан треугольника с вершинами $A(2; 1)$, $B(3; 4)$, $C(1; 6)$.

Точка пересечения медиан треугольника называется его центроидом. Координаты центроида (обозначим его точкой $M$) можно найти как среднее арифметическое соответствующих координат вершин треугольника.

Если вершины треугольника имеют координаты $A(x_A; y_A)$, $B(x_B; y_B)$ и $C(x_C; y_C)$, то координаты его центроида $M(x_M; y_M)$ вычисляются по следующим формулам:
$x_M = \frac{x_A + x_B + x_C}{3}$
$y_M = \frac{y_A + y_B + y_C}{3}$

В данной задаче нам даны координаты вершин треугольника:
$A(2; 1)$, то есть $x_A = 2, y_A = 1$.
$B(3; 4)$, то есть $x_B = 3, y_B = 4$.
$C(1; 6)$, то есть $x_C = 1, y_C = 6$.

Теперь подставим эти значения в формулы для нахождения координат точки $M$:
$x_M = \frac{2 + 3 + 1}{3} = \frac{6}{3} = 2$
$y_M = \frac{1 + 4 + 6}{3} = \frac{11}{3}$

Таким образом, координаты точки пересечения медиан треугольника равны $(2; \frac{11}{3})$.

Ответ: $(2; \frac{11}{3})$

4.17. Дано: $A(4; 0)$, $B(12; -2)$, $C(5; -9)$. Для треугольника $ABC$ найдите:

1) его периметр;

2) длину медианы $AN$;

3) координаты центра описанной окружности и ее радиуса.

1) его периметр

Периметр треугольника $P_{ABC}$ равен сумме длин его сторон: $P = AB + BC + AC$.Найдем длину каждой стороны по формуле расстояния между двумя точками $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.Координаты вершин: A(4; 0), B(12; -2), C(5; -9).
Длина стороны AB:
$AB = \sqrt{(12 - 4)^2 + (-2 - 0)^2} = \sqrt{8^2 + (-2)^2} = \sqrt{64 + 4} = \sqrt{68} = 2\sqrt{17}$.
Длина стороны BC:
$BC = \sqrt{(5 - 12)^2 + (-9 - (-2))^2} = \sqrt{(-7)^2 + (-7)^2} = \sqrt{49 + 49} = \sqrt{98} = 7\sqrt{2}$.
Длина стороны AC:
$AC = \sqrt{(5 - 4)^2 + (-9 - 0)^2} = \sqrt{1^2 + (-9)^2} = \sqrt{1 + 81} = \sqrt{82}$.
Периметр треугольника:
$P = AB + BC + AC = 2\sqrt{17} + 7\sqrt{2} + \sqrt{82}$.
Ответ: $P = 2\sqrt{17} + 7\sqrt{2} + \sqrt{82}$.

2) длину медианы AN

Медиана AN соединяет вершину A с серединой N стороны BC.Сначала найдем координаты точки N, которая является серединой отрезка BC, по формуле: $N(\frac{x_B+x_C}{2}; \frac{y_B+y_C}{2})$.
$x_N = \frac{12 + 5}{2} = \frac{17}{2}$
$y_N = \frac{-2 + (-9)}{2} = \frac{-11}{2}$
Таким образом, координаты точки $N(\frac{17}{2}; -\frac{11}{2})$.
Теперь найдем длину медианы AN как расстояние между точками A(4; 0) и $N(\frac{17}{2}; -\frac{11}{2})$.
$AN = \sqrt{(\frac{17}{2} - 4)^2 + (-\frac{11}{2} - 0)^2} = \sqrt{(\frac{17 - 8}{2})^2 + (-\frac{11}{2})^2} = \sqrt{(\frac{9}{2})^2 + (\frac{11}{2})^2} = \sqrt{\frac{81}{4} + \frac{121}{4}} = \sqrt{\frac{202}{4}} = \frac{\sqrt{202}}{2}$.
Ответ: $AN = \frac{\sqrt{202}}{2}$.

3) координаты центра описанной окружности и ее радиуса

Центр описанной окружности O(x; y) равноудален от всех вершин треугольника, то есть $OA = OB = OC$. Это также означает, что $OA^2 = OB^2 = OC^2$.
Запишем уравнения, используя формулу квадрата расстояния $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$.
$OA^2 = (x - 4)^2 + (y - 0)^2 = x^2 - 8x + 16 + y^2$
$OB^2 = (x - 12)^2 + (y - (-2))^2 = x^2 - 24x + 144 + y^2 + 4y + 4$
$OC^2 = (x - 5)^2 + (y - (-9))^2 = x^2 - 10x + 25 + y^2 + 18y + 81$
Составим систему уравнений, приравняв эти выражения.
1) $OA^2 = OB^2$:
$x^2 - 8x + 16 + y^2 = x^2 - 24x + 144 + y^2 + 4y + 4$
$-8x + 16 = -24x + 148 + 4y$
$16x - 4y = 132$
$4x - y = 33$ (Уравнение 1)
2) $OB^2 = OC^2$:
$x^2 - 24x + 144 + y^2 + 4y + 4 = x^2 - 10x + 25 + y^2 + 18y + 81$
$-24x + 4y + 148 = -10x + 18y + 106$
$-14x - 14y = -42$
$x + y = 3$ (Уравнение 2)
Решим систему из двух уравнений:
$\begin{cases} 4x - y = 33 \\ x + y = 3 \end{cases}$
Сложим два уравнения: $(4x - y) + (x + y) = 33 + 3 \implies 5x = 36 \implies x = \frac{36}{5}$.
Подставим $x$ во второе уравнение: $\frac{36}{5} + y = 3 \implies y = 3 - \frac{36}{5} = \frac{15 - 36}{5} = -\frac{21}{5}$.
Координаты центра описанной окружности $O(\frac{36}{5}; -\frac{21}{5})$.
Радиус описанной окружности $R$ равен расстоянию от центра O до любой из вершин, например, до A.
$R^2 = OA^2 = (4 - \frac{36}{5})^2 + (0 - (-\frac{21}{5}))^2$
$R^2 = (\frac{20 - 36}{5})^2 + (\frac{21}{5})^2 = (-\frac{16}{5})^2 + (\frac{21}{5})^2 = \frac{256}{25} + \frac{441}{25} = \frac{697}{25}$.
$R = \sqrt{\frac{697}{25}} = \frac{\sqrt{697}}{5}$.
Ответ: Координаты центра $O(\frac{36}{5}; -\frac{21}{5})$, радиус $R = \frac{\sqrt{697}}{5}$.

4.18. Докажите, что треугольник ABC – равнобедренный, если:

1) $A(0; 1)$, $B(1; -4)$, $C(5; x)$;

2) $A(-4; 1)$, $B(-2; 4)$, $C(0; x).$

4.19. Найдите на оси ординат точку, равноудаленную от точек:

1) $A(-3; 5)$ и $B(6; 4);$

2) $C(1; 1)$ и $D(8; 1).$

Пусть искомая точка $M$ лежит на оси ординат, следовательно, ее абсцисса равна нулю, а ее координаты имеют вид $M(0; y)$. Расстояние между двумя точками $P_1(x_1; y_1)$ и $P_2(x_2; y_2)$ вычисляется по формуле: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$. Условие равноудаленности точки $M$ от двух других точек означает, что расстояния от $M$ до этих точек равны. Для удобства вычислений будем сравнивать квадраты расстояний.

1) Найдем точку $M(0; y)$, равноудаленную от точек $A(-3; 5)$ и $B(6; 4)$. По условию, расстояние $AM$ равно расстоянию $BM$, то есть $AM = BM$. Возведем обе части равенства в квадрат: $AM^2 = BM^2$. Выразим квадраты расстояний через координаты точек:
$AM^2 = (x_A - x_M)^2 + (y_A - y_M)^2 = (-3 - 0)^2 + (5 - y)^2 = 9 + (5 - y)^2$.
$BM^2 = (x_B - x_M)^2 + (y_B - y_M)^2 = (6 - 0)^2 + (4 - y)^2 = 36 + (4 - y)^2$.
Приравняем эти выражения:
$9 + (5 - y)^2 = 36 + (4 - y)^2$.
Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$9 + (25 - 10y + y^2) = 36 + (16 - 8y + y^2)$.
$34 - 10y + y^2 = 52 - 8y + y^2$.
Сократим $y^2$ в обеих частях уравнения:
$34 - 10y = 52 - 8y$.
Перенесем слагаемые с $y$ в одну сторону, а числовые значения — в другую:
$-10y + 8y = 52 - 34$.
$-2y = 18$.
$y = \frac{18}{-2}$.
$y = -9$.
Следовательно, искомая точка имеет координаты $(0; -9)$.
Ответ: $(0; -9)$.

2) Найдем точку $M(0; y)$, равноудаленную от точек $C(1; 1)$ и $D(8; 1)$. По условию, $CM = DM$, или $CM^2 = DM^2$.
Выразим квадраты расстояний через координаты точек:
$CM^2 = (x_C - x_M)^2 + (y_C - y_M)^2 = (1 - 0)^2 + (1 - y)^2 = 1 + (1 - y)^2$.
$DM^2 = (x_D - x_M)^2 + (y_D - y_M)^2 = (8 - 0)^2 + (1 - y)^2 = 64 + (1 - y)^2$.
Приравняем выражения:
$1 + (1 - y)^2 = 64 + (1 - y)^2$.
Сократим одинаковые слагаемые $(1 - y)^2$ в обеих частях уравнения:
$1 = 64$.
Мы получили неверное равенство, которое не зависит от переменной $y$. Это означает, что уравнение не имеет решений. Следовательно, на оси ординат не существует точки, равноудаленной от точек $C$ и $D$.

Геометрически это можно объяснить так: множество всех точек, равноудаленных от двух данных точек (в данном случае $C$ и $D$), является серединным перпендикуляром к отрезку, соединяющему эти точки. Точки $C(1; 1)$ и $D(8; 1)$ лежат на горизонтальной прямой $y = 1$. Серединный перпендикуляр к горизонтальному отрезку — это вертикальная прямая. Она проходит через середину отрезка $CD$, точка которой имеет абсциссу $x = \frac{1+8}{2} = 4.5$. Таким образом, серединный перпендикуляр — это прямая $x = 4.5$. Искомая точка должна лежать на оси ординат (прямая $x = 0$) и одновременно на серединном перпендикуляре ($x = 4.5$). Поскольку прямые $x=0$ и $x=4.5$ параллельны и не пересекаются, такой точки не существует.
Ответ: такой точки не существует.

4.20. Найдите на оси абсцисс точку, равноудаленную от точек:

1) $A(1; 2)$ и $B(-3; 4)$;

2) $C(4; -3)$ и $D(3; 5)$.

1) Пусть искомая точка на оси абсцисс, назовем ее $M$, имеет координаты $(x; 0)$, так как она лежит на оси $Ox$. По условию, точка $M$ равноудалена от точек $A(1; 2)$ и $B(-3; 4)$. Это означает, что расстояние $MA$ равно расстоянию $MB$. Для удобства вычислений будем использовать квадраты расстояний: $MA^2 = MB^2$.
Формула для квадрата расстояния между двумя точками $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ имеет вид: $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$.
Вычислим квадрат расстояния от точки $M(x; 0)$ до точки $A(1; 2)$:
$MA^2 = (1 - x)^2 + (2 - 0)^2 = (1 - x)^2 + 4$.
Вычислим квадрат расстояния от точки $M(x; 0)$ до точки $B(-3; 4)$:
$MB^2 = (-3 - x)^2 + (4 - 0)^2 = (-(x + 3))^2 + 16 = (x + 3)^2 + 16$.
Теперь приравняем полученные выражения:
$(1 - x)^2 + 4 = (x + 3)^2 + 16$.
Раскроем скобки, используя формулы квадрата разности и квадрата суммы:
$1 - 2x + x^2 + 4 = x^2 + 6x + 9 + 16$.
Упростим обе части уравнения:
$x^2 - 2x + 5 = x^2 + 6x + 25$.
Вычтем $x^2$ из обеих частей уравнения:
$-2x + 5 = 6x + 25$.
Перенесем слагаемые, содержащие $x$, в одну сторону, а числовые слагаемые — в другую:
$5 - 25 = 6x + 2x$.
$-20 = 8x$.
Найдем $x$:
$x = \frac{-20}{8} = -\frac{5}{2} = -2.5$.
Таким образом, искомая точка на оси абсцисс имеет координаты $(-2.5; 0)$.
Ответ: $(-2.5; 0)$.

2) Аналогично, найдем на оси абсцисс точку $M(x; 0)$, равноудаленную от точек $C(4; -3)$ и $D(3; 5)$. Условие равноудаленности означает, что $MC^2 = MD^2$.
Вычислим квадрат расстояния от точки $M(x; 0)$ до точки $C(4; -3)$:
$MC^2 = (4 - x)^2 + (-3 - 0)^2 = (4 - x)^2 + 9$.
Вычислим квадрат расстояния от точки $M(x; 0)$ до точки $D(3; 5)$:
$MD^2 = (3 - x)^2 + (5 - 0)^2 = (3 - x)^2 + 25$.
Приравняем полученные выражения:
$(4 - x)^2 + 9 = (3 - x)^2 + 25$.
Раскроем скобки:
$16 - 8x + x^2 + 9 = 9 - 6x + x^2 + 25$.
Упростим обе части уравнения:
$x^2 - 8x + 25 = x^2 - 6x + 34$.
Вычтем $x^2$ из обеих частей:
$-8x + 25 = -6x + 34$.
Перенесем слагаемые с переменной в одну сторону, а числа — в другую:
$25 - 34 = -6x + 8x$.
$-9 = 2x$.
Найдем $x$:
$x = -\frac{9}{2} = -4.5$.
Следовательно, искомая точка имеет координаты $(-4.5; 0)$.
Ответ: $(-4.5; 0)$.

4.21. Докажите, что четырехугольник $ABCD$ с вершинами в точках:

1) $A(-3; -1)$, $B(1; -1)$, $C(1; -3)$, $D(-3; -3)$;

2) $A(4; 1)$, $B(3; 5)$, $C(-1; 4)$, $D(0; 0)$

является прямоугольником.

Чтобы доказать, что четырехугольник является прямоугольником, можно использовать свойство, что прямоугольник — это параллелограмм, диагонали которого равны. Сначала докажем, что четырехугольник ABCD является параллелограммом (противоположные стороны равны), а затем докажем, что его диагонали равны.

Для этого будем использовать формулу для квадрата расстояния между двумя точками с координатами $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$: $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$.

1) Даны вершины четырехугольника: A(-3; -1), B(1; -1), C(1; -3), D(-3; -3).

Найдем квадраты длин его сторон:

• $AB^2 = (1 - (-3))^2 + (-1 - (-1))^2 = (1 + 3)^2 + 0^2 = 4^2 = 16$
• $BC^2 = (1 - 1)^2 + (-3 - (-1))^2 = 0^2 + (-3 + 1)^2 = (-2)^2 = 4$
• $CD^2 = (-3 - 1)^2 + (-3 - (-3))^2 = (-4)^2 + 0^2 = 16$
• $DA^2 = (-3 - (-3))^2 + (-1 - (-3))^2 = 0^2 + (-1 + 3)^2 = 2^2 = 4$

Так как $AB^2 = CD^2 = 16$ и $BC^2 = DA^2 = 4$, то противоположные стороны четырехугольника попарно равны ($AB = CD$ и $BC = DA$). Следовательно, четырехугольник ABCD — параллелограмм.

Теперь найдем квадраты длин его диагоналей:

• $AC^2 = (1 - (-3))^2 + (-3 - (-1))^2 = (1 + 3)^2 + (-3 + 1)^2 = 4^2 + (-2)^2 = 16 + 4 = 20$
• $BD^2 = (-3 - 1)^2 + (-3 - (-1))^2 = (-4)^2 + (-3 + 1)^2 = (-4)^2 + (-2)^2 = 16 + 4 = 20$

Так как $AC^2 = BD^2 = 20$, то диагонали AC и BD равны.
Поскольку ABCD — это параллелограмм с равными диагоналями, он является прямоугольником. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что четырехугольник ABCD является прямоугольником.

2) Даны вершины четырехугольника: A(4; 1), B(3; 5), C(-1; 4), D(0; 0).

Найдем квадраты длин его сторон:

• $AB^2 = (3 - 4)^2 + (5 - 1)^2 = (-1)^2 + 4^2 = 1 + 16 = 17$
• $BC^2 = (-1 - 3)^2 + (4 - 5)^2 = (-4)^2 + (-1)^2 = 16 + 1 = 17$
• $CD^2 = (0 - (-1))^2 + (0 - 4)^2 = (0 + 1)^2 + (-4)^2 = 1^2 + 16 = 17$
• $DA^2 = (4 - 0)^2 + (1 - 0)^2 = 4^2 + 1^2 = 16 + 1 = 17$

Так как $AB^2 = CD^2 = 17$ и $BC^2 = DA^2 = 17$, то противоположные стороны четырехугольника попарно равны ($AB = CD$ и $BC = DA$). Следовательно, четырехугольник ABCD — параллелограмм. (Более того, так как все стороны равны, это ромб).

Теперь найдем квадраты длин его диагоналей:

• $AC^2 = (-1 - 4)^2 + (4 - 1)^2 = (-5)^2 + 3^2 = 25 + 9 = 34$
• $BD^2 = (0 - 3)^2 + (0 - 5)^2 = (-3)^2 + (-5)^2 = 9 + 25 = 34$

Так как $AC^2 = BD^2 = 34$, то диагонали AC и BD равны.
Поскольку ABCD — это параллелограмм с равными диагоналями, он является прямоугольником. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что четырехугольник ABCD является прямоугольником.

4.22. По теореме, обратной теореме Пифагора, докажите, что треугольник с вершинами в точках $A(1; 1)$, $B(3; 5)$; $C(9; 2)$ является прямоугольным. Укажите его прямой угол.

Для доказательства того, что треугольник с вершинами в точках A(1; 1), B(3; 5) и C(9; 2) является прямоугольным, необходимо воспользоваться теоремой, обратной теореме Пифагора. Она гласит: если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон, то такой треугольник является прямоугольным.

Сначала найдем квадраты длин всех сторон треугольника, используя формулу квадрата расстояния между двумя точками на плоскости $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$.

1. Найдем квадрат длины стороны AB, где A(1; 1) и B(3; 5):

$AB^2 = (3 - 1)^2 + (5 - 1)^2 = 2^2 + 4^2 = 4 + 16 = 20$.

2. Найдем квадрат длины стороны BC, где B(3; 5) и C(9; 2):

$BC^2 = (9 - 3)^2 + (2 - 5)^2 = 6^2 + (-3)^2 = 36 + 9 = 45$.

3. Найдем квадрат длины стороны AC, где A(1; 1) и C(9; 2):

$AC^2 = (9 - 1)^2 + (2 - 1)^2 = 8^2 + 1^2 = 64 + 1 = 65$.

Теперь проверим, выполняется ли равенство Пифагора. Самая длинная сторона — AC, так как $AC^2 = 65$ является наибольшим значением. Если треугольник прямоугольный, то AC должна быть гипотенузой. Проверим, равна ли сумма квадратов катетов квадрату гипотенузы:

$AB^2 + BC^2 = 20 + 45 = 65$.

Поскольку $AC^2 = 65$ и $AB^2 + BC^2 = 65$, мы получаем, что $AC^2 = AB^2 + BC^2$.

Так как условие теоремы, обратной теореме Пифагора, выполнено, треугольник ABC является прямоугольным.

Прямой угол в прямоугольном треугольнике лежит напротив гипотенузы. В нашем случае гипотенуза — это сторона AC. Угол, противолежащий стороне AC, — это угол при вершине B, то есть $\angle ABC$.

Ответ: Треугольник ABC является прямоугольным, так как выполняется равенство $AC^2 = AB^2 + BC^2$ ($65 = 20 + 45$). Прямой угол треугольника — это угол $\angle B$.

4.23. Точки $(5; 2)$, $(2; -3)$, $(2; 1)$ являются серединами сторон треугольника. Найдите координаты его вершин.

Пусть вершины искомого треугольника — A($x_1$, $y_1$), B($x_2$, $y_2$) и C($x_3$, $y_3$).По условию, нам даны координаты середин его сторон: M(5; 2), N(2; -3) и P(2; 1).Предположим, что M — середина стороны AB, N — середина стороны BC, а P — середина стороны AC.

Координаты середины отрезка вычисляются как полусумма соответствующих координат его концов. Для отрезка с концами в точках ($x_a$, $y_a$) и ($x_b$, $y_b$) координаты середины ($x_с$, $y_с$) равны:

$x_с = \frac{x_a + x_b}{2}$, $y_с = \frac{y_a + y_b}{2}$

Используя эту формулу для каждой из сторон треугольника, составим систему уравнений:

• Для середины M(5; 2) стороны AB: $\frac{x_1 + x_2}{2} = 5 \implies x_1 + x_2 = 10 \quad (1)$
  $\frac{y_1 + y_2}{2} = 2 \implies y_1 + y_2 = 4 \quad (2)$
• Для середины N(2; -3) стороны BC: $\frac{x_2 + x_3}{2} = 2 \implies x_2 + x_3 = 4 \quad (3)$
  $\frac{y_2 + y_3}{2} = -3 \implies y_2 + y_3 = -6 \quad (4)$
• Для середины P(2; 1) стороны AC: $\frac{x_1 + x_3}{2} = 2 \implies x_1 + x_3 = 4 \quad (5)$
  $\frac{y_1 + y_3}{2} = 1 \implies y_1 + y_3 = 2 \quad (6)$

Мы получили две независимые системы уравнений: одну для абсцисс ($x$) и одну для ординат ($y$).

Решение системы для координат $x$

Рассмотрим систему уравнений для абсцисс:

$ \begin{cases} x_1 + x_2 = 10 \\ x_2 + x_3 = 4 \\ x_1 + x_3 = 4 \end{cases} $

Сложим все три уравнения: $(x_1 + x_2) + (x_2 + x_3) + (x_1 + x_3) = 10 + 4 + 4$.

$2x_1 + 2x_2 + 2x_3 = 18$

Разделим обе части на 2: $x_1 + x_2 + x_3 = 9 \quad (7)$.

Теперь найдем значения каждой переменной, вычитая из уравнения (7) исходные уравнения:

• $x_1 = (x_1 + x_2 + x_3) - (x_2 + x_3) = 9 - 4 = 5$
• $x_2 = (x_1 + x_2 + x_3) - (x_1 + x_3) = 9 - 4 = 5$
• $x_3 = (x_1 + x_2 + x_3) - (x_1 + x_2) = 9 - 10 = -1$

Решение системы для координат $y$

Рассмотрим систему уравнений для ординат:

$ \begin{cases} y_1 + y_2 = 4 \\ y_2 + y_3 = -6 \\ y_1 + y_3 = 2 \end{cases} $

Сложим все три уравнения: $(y_1 + y_2) + (y_2 + y_3) + (y_1 + y_3) = 4 + (-6) + 2$.

$2y_1 + 2y_2 + 2y_3 = 0$

Разделим обе части на 2: $y_1 + y_2 + y_3 = 0 \quad (8)$.

Теперь найдем значения каждой переменной, вычитая из уравнения (8) исходные уравнения:

• $y_1 = (y_1 + y_2 + y_3) - (y_2 + y_3) = 0 - (-6) = 6$
• $y_2 = (y_1 + y_2 + y_3) - (y_1 + y_3) = 0 - 2 = -2$
• $y_3 = (y_1 + y_2 + y_3) - (y_1 + y_2) = 0 - 4 = -4$

Таким образом, мы определили координаты вершин треугольника:

A($x_1$, $y_1$) = (5; 6)

B($x_2$, $y_2$) = (5; -2)

C($x_3$, $y_3$) = (-1; -4)

Ответ: Координаты вершин треугольника: (5; 6), (5; -2), (-1; -4).

4.24. Докажите, что координаты точки пересечения медиан треугольника с вершинами $A(x_1; y_1)$, $B(x_2; y_2)$, $C(x_3; y_3)$ определяются по формулам:

$x = \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}$, $y = \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}$.

Используя эти формулы, найдите координаты точки пересечения медиан треугольника с вершинами в точках:

1) A (3; 1), B(−1; 4), C(1; 1)

2) A (−2; 3), B(5; −2), C(−3; −1)

Доказательство формул для координат точки пересечения медиан треугольника.

Пусть дан треугольник с вершинами в точках $A(x_1; y_1)$, $B(x_2; y_2)$ и $C(x_3; y_3)$. Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Рассмотрим медиану $AM_A$, проведенную из вершины $A$ к стороне $BC$. Точка $M_A$ является серединой отрезка $BC$. Координаты середины отрезка находятся как полусумма соответствующих координат его концов. Таким образом, координаты точки $M_A(x_{M_A}; y_{M_A})$ равны:

$x_{M_A} = \frac{x_2 + x_3}{2}$

$y_{M_A} = \frac{y_2 + y_3}{2}$

Известно, что все три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая называется центроидом треугольника. Эта точка делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Обозначим точку пересечения медиан как $O(x; y)$. Тогда для медианы $AM_A$ выполняется соотношение $AO : OM_A = 2 : 1$.

Для нахождения координат точки $O$, которая делит отрезок $AM_A$ в отношении 2:1, воспользуемся соответствующими формулами. Координаты точки, делящей отрезок с концами $(x_a; y_a)$ и $(x_b; y_b)$ в отношении $m:n$, вычисляются как:

$x = \frac{n \cdot x_a + m \cdot x_b}{m+n}$, $y = \frac{n \cdot y_a + m \cdot y_b}{m+n}$

В нашем случае, отрезок — это $AM_A$, где $A$ — это $(x_1, y_1)$ и $M_A$ — это $(\frac{x_2+x_3}{2}, \frac{y_2+y_3}{2})$. Отношение $m:n = 2:1$. Подставим значения в формулы:

$x = \frac{1 \cdot x_1 + 2 \cdot x_{M_A}}{2+1} = \frac{x_1 + 2 \cdot \left(\frac{x_2 + x_3}{2}\right)}{3} = \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}$

$y = \frac{1 \cdot y_1 + 2 \cdot y_{M_A}}{2+1} = \frac{y_1 + 2 \cdot \left(\frac{y_2 + y_3}{2}\right)}{3} = \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}$

Таким образом, формулы для координат точки пересечения медиан доказаны.

Ответ: Координаты точки пересечения медиан $(x;y)$ определяются по формулам $x = \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}$ и $y = \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}$.

Теперь используем эти формулы, чтобы найти координаты точки пересечения медиан для заданных треугольников.

1) Дан треугольник с вершинами в точках $A(3; 1)$, $B(-1; 4)$, $C(1; 1)$.

Находим координаты точки пересечения медиан $O(x; y)$:

$x = \frac{3 + (-1) + 1}{3} = \frac{3}{3} = 1$

$y = \frac{1 + 4 + 1}{3} = \frac{6}{3} = 2$

Ответ: $(1; 2)$.

2) Дан треугольник с вершинами в точках $A(-2; 3)$, $B(5; -2)$, $C(-3; -1)$.

Находим координаты точки пересечения медиан $O(x; y)$:

$x = \frac{-2 + 5 + (-3)}{3} = \frac{0}{3} = 0$

$y = \frac{3 + (-2) + (-1)}{3} = \frac{0}{3} = 0$

Ответ: $(0; 0)$.

4.25. Дан четырехугольник $ABCD$: $A(-1; 7)$, $B(5; 5)$; $C(7; -5)$, $D(3; -7)$.

Докажите, что:

1) отрезки, соединяющие середины сторон $AB$ и $CD$, $AD$ и $BC$, в точке их пересечения делятся пополам;

2) середины сторон данного четырехугольника являются вершинами параллелограмма.

Даны вершины четырехугольника ABCD: A(-1; 7), B(5; 5), C(7; -5), D(3; -7).

Для решения задачи сначала найдем координаты середин сторон данного четырехугольника. Обозначим их K, L, M и N – середины сторон AB, BC, CD и AD соответственно.

Координаты середины отрезка с концами в точках $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ вычисляются по формуле: $(\frac{x_1+x_2}{2}; \frac{y_1+y_2}{2})$.

K (середина AB): $K = (\frac{-1+5}{2}; \frac{7+5}{2}) = (\frac{4}{2}; \frac{12}{2}) = (2; 6)$.

L (середина BC): $L = (\frac{5+7}{2}; \frac{5+(-5)}{2}) = (\frac{12}{2}; \frac{0}{2}) = (6; 0)$.

M (середина CD): $M = (\frac{7+3}{2}; \frac{-5+(-7)}{2}) = (\frac{10}{2}; \frac{-12}{2}) = (5; -6)$.

N (середина AD): $N = (\frac{-1+3}{2}; \frac{7+(-7)}{2}) = (\frac{2}{2}; \frac{0}{2}) = (1; 0)$.

1) отрезки, соединяющие середины сторон AB и CD, AD и BC, в точке их пересечения делятся пополам

Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, – это KM (середины AB и CD) и NL (середины AD и BC). Чтобы доказать, что они делятся пополам в точке пересечения, необходимо показать, что их середины совпадают.

Найдем координаты середины отрезка KM. Обозначим ее точкой O:

$O = (\frac{x_K+x_M}{2}; \frac{y_K+y_M}{2}) = (\frac{2+5}{2}; \frac{6+(-6)}{2}) = (\frac{7}{2}; \frac{0}{2}) = (3.5; 0)$.

Теперь найдем координаты середины отрезка NL:

$(\frac{x_N+x_L}{2}; \frac{y_N+y_L}{2}) = (\frac{1+6}{2}; \frac{0+0}{2}) = (\frac{7}{2}; \frac{0}{2}) = (3.5; 0)$.

Так как координаты середин отрезков KM и NL совпадают в точке $(3.5; 0)$, то эти отрезки пересекаются и в точке пересечения делятся пополам.

Ответ: что и требовалось доказать.

2) середины сторон данного четырехугольника являются вершинами параллелограмма

Рассмотрим четырехугольник KLMN, образованный серединами сторон исходного четырехугольника: K(2; 6), L(6; 0), M(5; -6) и N(1; 0). Чтобы доказать, что KLMN является параллелограммом, достаточно показать, что векторы его противоположных сторон равны (это докажет, что стороны параллельны и равны по длине).

Найдем координаты векторов $\vec{KL}$ и $\vec{NM}$:

$\vec{KL} = (x_L - x_K; y_L - y_K) = (6 - 2; 0 - 6) = (4; -6)$.

$\vec{NM} = (x_M - x_N; y_M - y_N) = (5 - 1; -6 - 0) = (4; -6)$.

Поскольку векторы $\vec{KL}$ и $\vec{NM}$ имеют одинаковые координаты, они равны: $\vec{KL} = \vec{NM}$. Это означает, что отрезки KL и NM параллельны и равны по длине. Согласно признаку параллелограмма (если две противоположные стороны четырехугольника равны и параллельны), четырехугольник KLMN является параллелограммом.

Ответ: что и требовалось доказать.