Номер 4.22, страница 93 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.22. По теореме, обратной теореме Пифагора, докажите, что треугольник с вершинами в точках $A(1; 1)$, $B(3; 5)$; $C(9; 2)$ является прямоугольным. Укажите его прямой угол.

Для доказательства того, что треугольник с вершинами в точках A(1; 1), B(3; 5) и C(9; 2) является прямоугольным, необходимо воспользоваться теоремой, обратной теореме Пифагора. Она гласит: если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон, то такой треугольник является прямоугольным.

Сначала найдем квадраты длин всех сторон треугольника, используя формулу квадрата расстояния между двумя точками на плоскости $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$.

1. Найдем квадрат длины стороны AB, где A(1; 1) и B(3; 5):

$AB^2 = (3 - 1)^2 + (5 - 1)^2 = 2^2 + 4^2 = 4 + 16 = 20$.

2. Найдем квадрат длины стороны BC, где B(3; 5) и C(9; 2):

$BC^2 = (9 - 3)^2 + (2 - 5)^2 = 6^2 + (-3)^2 = 36 + 9 = 45$.

3. Найдем квадрат длины стороны AC, где A(1; 1) и C(9; 2):

$AC^2 = (9 - 1)^2 + (2 - 1)^2 = 8^2 + 1^2 = 64 + 1 = 65$.

Теперь проверим, выполняется ли равенство Пифагора. Самая длинная сторона — AC, так как $AC^2 = 65$ является наибольшим значением. Если треугольник прямоугольный, то AC должна быть гипотенузой. Проверим, равна ли сумма квадратов катетов квадрату гипотенузы:

$AB^2 + BC^2 = 20 + 45 = 65$.

Поскольку $AC^2 = 65$ и $AB^2 + BC^2 = 65$, мы получаем, что $AC^2 = AB^2 + BC^2$.

Так как условие теоремы, обратной теореме Пифагора, выполнено, треугольник ABC является прямоугольным.

Прямой угол в прямоугольном треугольнике лежит напротив гипотенузы. В нашем случае гипотенуза — это сторона AC. Угол, противолежащий стороне AC, — это угол при вершине B, то есть $\angle ABC$.

Ответ: Треугольник ABC является прямоугольным, так как выполняется равенство $AC^2 = AB^2 + BC^2$ ($65 = 20 + 45$). Прямой угол треугольника — это угол $\angle B$.