Номер 4.23, страница 93 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.23. Точки $(5; 2)$, $(2; -3)$, $(2; 1)$ являются серединами сторон треугольника. Найдите координаты его вершин.

Пусть вершины искомого треугольника — A($x_1$, $y_1$), B($x_2$, $y_2$) и C($x_3$, $y_3$).По условию, нам даны координаты середин его сторон: M(5; 2), N(2; -3) и P(2; 1).Предположим, что M — середина стороны AB, N — середина стороны BC, а P — середина стороны AC.

Координаты середины отрезка вычисляются как полусумма соответствующих координат его концов. Для отрезка с концами в точках ($x_a$, $y_a$) и ($x_b$, $y_b$) координаты середины ($x_с$, $y_с$) равны:

$x_с = \frac{x_a + x_b}{2}$, $y_с = \frac{y_a + y_b}{2}$

Используя эту формулу для каждой из сторон треугольника, составим систему уравнений:

• Для середины M(5; 2) стороны AB: $\frac{x_1 + x_2}{2} = 5 \implies x_1 + x_2 = 10 \quad (1)$
  $\frac{y_1 + y_2}{2} = 2 \implies y_1 + y_2 = 4 \quad (2)$
• Для середины N(2; -3) стороны BC: $\frac{x_2 + x_3}{2} = 2 \implies x_2 + x_3 = 4 \quad (3)$
  $\frac{y_2 + y_3}{2} = -3 \implies y_2 + y_3 = -6 \quad (4)$
• Для середины P(2; 1) стороны AC: $\frac{x_1 + x_3}{2} = 2 \implies x_1 + x_3 = 4 \quad (5)$
  $\frac{y_1 + y_3}{2} = 1 \implies y_1 + y_3 = 2 \quad (6)$

Мы получили две независимые системы уравнений: одну для абсцисс ($x$) и одну для ординат ($y$).

Решение системы для координат $x$

Рассмотрим систему уравнений для абсцисс:

$ \begin{cases} x_1 + x_2 = 10 \\ x_2 + x_3 = 4 \\ x_1 + x_3 = 4 \end{cases} $

Сложим все три уравнения: $(x_1 + x_2) + (x_2 + x_3) + (x_1 + x_3) = 10 + 4 + 4$.

$2x_1 + 2x_2 + 2x_3 = 18$

Разделим обе части на 2: $x_1 + x_2 + x_3 = 9 \quad (7)$.

Теперь найдем значения каждой переменной, вычитая из уравнения (7) исходные уравнения:

• $x_1 = (x_1 + x_2 + x_3) - (x_2 + x_3) = 9 - 4 = 5$
• $x_2 = (x_1 + x_2 + x_3) - (x_1 + x_3) = 9 - 4 = 5$
• $x_3 = (x_1 + x_2 + x_3) - (x_1 + x_2) = 9 - 10 = -1$

Решение системы для координат $y$

Рассмотрим систему уравнений для ординат:

$ \begin{cases} y_1 + y_2 = 4 \\ y_2 + y_3 = -6 \\ y_1 + y_3 = 2 \end{cases} $

Сложим все три уравнения: $(y_1 + y_2) + (y_2 + y_3) + (y_1 + y_3) = 4 + (-6) + 2$.

$2y_1 + 2y_2 + 2y_3 = 0$

Разделим обе части на 2: $y_1 + y_2 + y_3 = 0 \quad (8)$.

Теперь найдем значения каждой переменной, вычитая из уравнения (8) исходные уравнения:

• $y_1 = (y_1 + y_2 + y_3) - (y_2 + y_3) = 0 - (-6) = 6$
• $y_2 = (y_1 + y_2 + y_3) - (y_1 + y_3) = 0 - 2 = -2$
• $y_3 = (y_1 + y_2 + y_3) - (y_1 + y_2) = 0 - 4 = -4$

Таким образом, мы определили координаты вершин треугольника:

A($x_1$, $y_1$) = (5; 6)

B($x_2$, $y_2$) = (5; -2)

C($x_3$, $y_3$) = (-1; -4)

Ответ: Координаты вершин треугольника: (5; 6), (5; -2), (-1; -4).