Номер 4.27, страница 94 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.27. Найдите центр и радиус окружности, касающейся осей координат и проходящей через точку $A(-2; 1)$.

Пусть центр искомой окружности — точка $O(x_0, y_0)$, а ее радиус равен $R$.

Поскольку окружность касается осей координат $Ox$ и $Oy$, расстояние от ее центра до каждой из осей равно радиусу. Расстояние от точки $O(x_0, y_0)$ до оси $Ox$ (уравнение $y=0$) равно $|y_0|$, а до оси $Oy$ (уравнение $x=0$) — $|x_0|$. Таким образом, выполняется условие:

$|x_0| = |y_0| = R$

Окружность проходит через точку $A(-2; 1)$. Эта точка находится во второй координатной четверти, где $x < 0$ и $y > 0$. Так как окружность касается обеих осей и проходит через точку во второй четверти, ее центр также должен находиться во второй четверти. Для координат центра $O(x_0, y_0)$ это означает, что $x_0 < 0$ и $y_0 > 0$.

Исходя из этого, мы можем раскрыть модули в равенстве $|x_0| = |y_0| = R$:

$x_0 = -R$

$y_0 = R$

Следовательно, центр окружности имеет координаты $O(-R, R)$.

Общее уравнение окружности с центром в точке $(a, b)$ и радиусом $R$ имеет вид $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$. Подставив координаты нашего центра $O(-R, R)$, получаем уравнение искомой окружности:

$(x - (-R))^2 + (y - R)^2 = R^2$

$(x + R)^2 + (y - R)^2 = R^2$

Так как точка $A(-2; 1)$ лежит на окружности, ее координаты должны удовлетворять этому уравнению. Подставим $x = -2$ и $y = 1$ в уравнение:

$(-2 + R)^2 + (1 - R)^2 = R^2$

Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение относительно $R$:

$(4 - 4R + R^2) + (1 - 2R + R^2) = R^2$

$2R^2 - 6R + 5 = R^2$

$R^2 - 6R + 5 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения, например, с помощью теоремы Виета. Сумма корней равна 6, а их произведение равно 5. Отсюда находим два возможных значения для радиуса:

$R_1 = 1$, $R_2 = 5$.

Таким образом, существуют две окружности, удовлетворяющие условиям задачи. Найдем центр для каждого из возможных радиусов.

Случай 1

Пусть радиус $R = 1$. Тогда координаты центра окружности: $x_0 = -R = -1$, $y_0 = R = 1$. Центр находится в точке $O_1(-1; 1)$.

Ответ: центр $(-1; 1)$, радиус $1$.

Случай 2

Пусть радиус $R = 5$. Тогда координаты центра окружности: $x_0 = -R = -5$, $y_0 = R = 5$. Центр находится в точке $O_2(-5; 5)$.

Ответ: центр $(-5; 5)$, радиус $5$.