Страница 94 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.26. Найдите центр и радиус окружности, касающейся оси $Ox$ в точке $A(-6; 0)$ и проходящей через точку $B(-10; 4)$.

Пусть $C(x_0, y_0)$ — центр искомой окружности, а $R$ — её радиус. Общее уравнение окружности имеет вид: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$.

По условию, окружность касается оси $Ox$ в точке $A(-6; 0)$. Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Поскольку ось $Ox$ является горизонтальной прямой, то радиус, проведенный к точке $A$, должен лежать на вертикальной прямой, проходящей через эту точку. Уравнение этой прямой $x = -6$. Следовательно, центр окружности $C$ лежит на этой прямой, и его абсцисса $x_0 = -6$.

Таким образом, координаты центра — $C(-6, y_0)$. Радиус окружности $R$ равен расстоянию от центра до касательной (оси $Ox$). Это расстояние равно модулю ординаты центра, то есть $R = |y_0|$.Поскольку окружность проходит через точку $B(-10; 4)$, которая находится в верхней полуплоскости ($y=4 > 0$), то и центр окружности должен находиться в той же полуплоскости относительно точки касания. Значит, $y_0 > 0$, и можно записать, что $R = y_0$.Итак, координаты центра окружности — $C(-6; R)$.

Подставим известные параметры центра в уравнение окружности:$(x - (-6))^2 + (y - R)^2 = R^2$$(x + 6)^2 + (y - R)^2 = R^2$

Теперь используем то, что окружность проходит через точку $B(-10; 4)$. Подставим координаты этой точки в полученное уравнение, чтобы найти значение радиуса $R$:$(-10 + 6)^2 + (4 - R)^2 = R^2$$(-4)^2 + (4 - R)^2 = R^2$$16 + (16 - 8R + R^2) = R^2$$32 - 8R + R^2 = R^2$$32 - 8R = 0$$8R = 32$$R = 4$

Мы нашли радиус окружности: $R=4$.Теперь найдем координаты центра $C(-6; R)$. Подставив значение $R$, получаем: $C(-6; 4)$.

Ответ: центр окружности находится в точке с координатами $(-6; 4)$, а её радиус равен $4$.

4.27. Найдите центр и радиус окружности, касающейся осей координат и проходящей через точку $A(-2; 1)$.

Пусть центр искомой окружности — точка $O(x_0, y_0)$, а ее радиус равен $R$.

Поскольку окружность касается осей координат $Ox$ и $Oy$, расстояние от ее центра до каждой из осей равно радиусу. Расстояние от точки $O(x_0, y_0)$ до оси $Ox$ (уравнение $y=0$) равно $|y_0|$, а до оси $Oy$ (уравнение $x=0$) — $|x_0|$. Таким образом, выполняется условие:

$|x_0| = |y_0| = R$

Окружность проходит через точку $A(-2; 1)$. Эта точка находится во второй координатной четверти, где $x < 0$ и $y > 0$. Так как окружность касается обеих осей и проходит через точку во второй четверти, ее центр также должен находиться во второй четверти. Для координат центра $O(x_0, y_0)$ это означает, что $x_0 < 0$ и $y_0 > 0$.

Исходя из этого, мы можем раскрыть модули в равенстве $|x_0| = |y_0| = R$:

$x_0 = -R$

$y_0 = R$

Следовательно, центр окружности имеет координаты $O(-R, R)$.

Общее уравнение окружности с центром в точке $(a, b)$ и радиусом $R$ имеет вид $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$. Подставив координаты нашего центра $O(-R, R)$, получаем уравнение искомой окружности:

$(x - (-R))^2 + (y - R)^2 = R^2$

$(x + R)^2 + (y - R)^2 = R^2$

Так как точка $A(-2; 1)$ лежит на окружности, ее координаты должны удовлетворять этому уравнению. Подставим $x = -2$ и $y = 1$ в уравнение:

$(-2 + R)^2 + (1 - R)^2 = R^2$

Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение относительно $R$:

$(4 - 4R + R^2) + (1 - 2R + R^2) = R^2$

$2R^2 - 6R + 5 = R^2$

$R^2 - 6R + 5 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения, например, с помощью теоремы Виета. Сумма корней равна 6, а их произведение равно 5. Отсюда находим два возможных значения для радиуса:

$R_1 = 1$, $R_2 = 5$.

Таким образом, существуют две окружности, удовлетворяющие условиям задачи. Найдем центр для каждого из возможных радиусов.

Случай 1

Пусть радиус $R = 1$. Тогда координаты центра окружности: $x_0 = -R = -1$, $y_0 = R = 1$. Центр находится в точке $O_1(-1; 1)$.

Ответ: центр $(-1; 1)$, радиус $1$.

Случай 2

Пусть радиус $R = 5$. Тогда координаты центра окружности: $x_0 = -R = -5$, $y_0 = R = 5$. Центр находится в точке $O_2(-5; 5)$.

Ответ: центр $(-5; 5)$, радиус $5$.

4.28. Докажите, что в прямоугольном треугольнике середина гипотенузы равноудалена от его вершин.

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$, в котором $\angle C = 90^\circ$. Пусть $M$ — середина гипотенузы $AB$. Требуется доказать, что точка $M$ равноудалена от всех трех вершин треугольника, то есть $AM = BM = CM$.

По определению середины отрезка, $AM = BM$. Таким образом, задача сводится к доказательству того, что медиана $CM$, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.

Для доказательства достроим треугольник $ABC$ до прямоугольника $ACBD$. Для этого проведем через вершину $A$ прямую, параллельную катету $BC$, и через вершину $B$ прямую, параллельную катету $AC$. Точку пересечения этих прямых обозначим $D$.

Полученный четырехугольник $ACBD$ является параллелограммом, так как его противолежащие стороны попарно параллельны по построению ($AC \parallel DB$ и $BC \parallel AD$). Поскольку угол $\angle C$ в этом параллелограмме прямой ($\angle C = 90^\circ$), то $ACBD$ является прямоугольником.

Отрезки $AB$ и $CD$ являются диагоналями этого прямоугольника. Согласно свойству диагоналей прямоугольника, они равны и в точке пересечения делятся пополам.

Так как $M$ — середина гипотенузы $AB$, то $M$ является точкой пересечения диагоналей. Следовательно, $M$ также является серединой диагонали $CD$.

Из свойства равенства и деления диагоналей пополам в точке $M$ следует, что все четыре отрезка равны: $AM = BM = CM = DM$.

Отсюда, в частности, следует, что $AM = BM = CM$, что и требовалось доказать. Середина гипотенузы $M$ равноудалена от вершин $A$, $B$ и $C$.

Ответ: Утверждение доказано. Это свойство также можно сформулировать так: медиана, проведенная к гипотенузе в прямоугольном треугольнике, равна ее половине. Следовательно, середина гипотенузы является центром окружности, описанной около этого треугольника.

4.29. Докажите, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.

Доказательство

Рассмотрим параллелограмм $ABCD$. Обозначим длины его смежных сторон как $a$ и $b$, то есть $AB = CD = a$ и $BC = AD = b$. Диагонали параллелограмма обозначим как $d_1$ и $d_2$, где $AC = d_1$ и $BD = d_2$.

Пусть угол при вершине $A$ равен $\alpha$, то есть $\angle DAB = \alpha$. Поскольку сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$, то угол при вершине $B$ будет равен $\angle ABC = 180^\circ - \alpha$.

Применим теорему косинусов к треугольнику $ABD$ для нахождения квадрата диагонали $BD = d_2$:

$d_2^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos(\angle DAB)$

Подставив наши обозначения, получим:

$d_2^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\alpha)$

Теперь применим теорему косинусов к треугольнику $ABC$ для нахождения квадрата диагонали $AC = d_1$:

$d_1^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle ABC)$

Подставив наши обозначения, получим:

$d_1^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(180^\circ - \alpha)$

Используя формулу приведения $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos(\alpha)$, преобразуем выражение:

$d_1^2 = a^2 + b^2 - 2ab(-\cos(\alpha)) = a^2 + b^2 + 2ab \cos(\alpha)$

Сложим полученные выражения для квадратов диагоналей:

$d_1^2 + d_2^2 = (a^2 + b^2 + 2ab \cos(\alpha)) + (a^2 + b^2 - 2ab \cos(\alpha))$

Члены $2ab \cos(\alpha)$ и $-2ab \cos(\alpha)$ взаимно уничтожаются, и мы получаем:

$d_1^2 + d_2^2 = a^2 + b^2 + a^2 + b^2 = 2a^2 + 2b^2$

Сумма квадратов всех сторон параллелограмма равна $AB^2 + BC^2 + CD^2 + AD^2 = a^2 + b^2 + a^2 + b^2 = 2a^2 + 2b^2$.

Таким образом, мы доказали, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Для параллелограмма со сторонами $a, b$ и диагоналями $d_1, d_2$ справедливо равенство: $d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)$.

4.30. Основание равнобедренного треугольника равно 80 см, а медиана, проведенная к нему, равна 160 см. Найдите остальные две медианы этого треугольника.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$, в котором основание $AC = 80$ см, а боковые стороны $AB = BC$. Медиана $BM$, проведенная к основанию, имеет длину $BM = 160$ см. Необходимо найти длины двух других медиан, $AN$ (проведенной к стороне $BC$) и $CP$ (проведенной к стороне $AB$).

В равнобедренном треугольнике медианы, проведенные к равным боковым сторонам, также равны. Следовательно, $AN = CP$. Таким образом, нам достаточно найти длину одной из этих медиан.

Медиана, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, является также его высотой. Таким образом, $BM$ перпендикулярна $AC$. Это означает, что треугольник $ABM$ является прямоугольным с прямым углом $\angle BMA$. Точка $M$ является серединой основания $AC$, поэтому длина отрезка $AM$ равна половине длины $AC$:

$AM = \frac{AC}{2} = \frac{80}{2} = 40$ см.

Теперь мы можем найти длину боковой стороны $AB$ по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $ABM$:

$AB^2 = AM^2 + BM^2$

Подставив известные значения, получим:

$AB^2 = 40^2 + 160^2 = 1600 + 25600 = 27200$

Следовательно, квадрат длины боковой стороны ($AB$ или $BC$) равен 27200.

Для нахождения длины медианы $AN$, проведенной к стороне $BC$, воспользуемся общей формулой для длины медианы треугольника. Если стороны треугольника равны $a, b, c$, то квадрат длины медианы $m_a$, проведенной к стороне $a$, вычисляется по формуле:

$m_a^2 = \frac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4}$

В нашем треугольнике $ABC$ стороны: $BC = \sqrt{27200}$, $AC = 80$, $AB = \sqrt{27200}$. Мы ищем медиану к стороне $BC$, то есть $m_{BC} = AN$.

$AN^2 = \frac{2(AC)^2 + 2(AB)^2 - (BC)^2}{4} = \frac{2 \cdot 80^2 + 2 \cdot 27200 - 27200}{4}$

$AN^2 = \frac{2 \cdot 6400 + 27200}{4} = \frac{12800 + 27200}{4} = \frac{40000}{4} = 10000$

Отсюда находим длину медианы $AN$:

$AN = \sqrt{10000} = 100$ см.

Так как $AN = CP$, то обе искомые медианы имеют одинаковую длину.

Ответ: две другие медианы равны по 100 см каждая.

4.31. Высота треугольника, равная 10 см, делит его основание на отрезки, равные 10 см и 4 см. Найдите медиану, проведенную к меньшей из двух оставшихся сторон треугольника.

1. Нахождение длин сторон треугольника

Пусть в треугольнике $ABC$ высота $BH$, проведенная к основанию $AC$, равна 10 см. По условию, эта высота делит основание на отрезки $AH = 10$ см и $HC = 4$ см. Таким образом, длина основания $AC = AH + HC = 10 + 4 = 14$ см.

Поскольку $BH$ является высотой, треугольники $ABH$ и $CBH$ — прямоугольные. Используя теорему Пифагора, найдем длины двух других сторон треугольника, $AB$ и $BC$.

Для прямоугольного треугольника $ABH$ имеем:
$AB^2 = AH^2 + BH^2 = 10^2 + 10^2 = 100 + 100 = 200$
Следовательно, $AB = \sqrt{200} = 10\sqrt{2}$ см.

Для прямоугольного треугольника $CBH$ имеем:
$BC^2 = HC^2 + BH^2 = 4^2 + 10^2 = 16 + 100 = 116$
Следовательно, $BC = \sqrt{116} = 2\sqrt{29}$ см.

2. Определение меньшей из двух оставшихся сторон

Теперь необходимо сравнить длины сторон $AB$ и $BC$. Для удобства сравним их квадраты: $AB^2 = 200$ и $BC^2 = 116$. Так как $116 < 200$, то и $BC < AB$. Следовательно, меньшей из двух оставшихся сторон является сторона $BC$.

3. Вычисление длины медианы

Нам нужно найти медиану, проведенную к меньшей стороне, то есть к стороне $BC$. Обозначим эту медиану, проведенную из вершины $A$, как $m_a$. Для нахождения длины медианы воспользуемся формулой, связывающей медиану со сторонами треугольника:

$m_a^2 = \frac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4}$

В нашем треугольнике $ABC$ имеем стороны: $a = BC = \sqrt{116}$, $b = AC = 14$, $c = AB = \sqrt{200}$.

Подставляем известные значения в формулу:

$m_a^2 = \frac{2 \cdot (AC)^2 + 2 \cdot (AB)^2 - (BC)^2}{4} = \frac{2 \cdot 14^2 + 2 \cdot (\sqrt{200})^2 - (\sqrt{116})^2}{4}$

$m_a^2 = \frac{2 \cdot 196 + 2 \cdot 200 - 116}{4}$

$m_a^2 = \frac{392 + 400 - 116}{4}$

$m_a^2 = \frac{676}{4} = 169$

Отсюда находим длину искомой медианы:

$m_a = \sqrt{169} = 13$ см.

Ответ: 13 см.

4.32. Докажите, что если $ABCD$ – прямоугольник, то для любой точки $O$ плоскости выполняется равенство $AO^2 + CO^2 = BO^2 + DO^2$.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом координат. Это один из наиболее универсальных и наглядных способов для решения задач такого типа. Поместим прямоугольник $ABCD$ в декартову систему координат таким образом, чтобы вершина $A$ совпала с началом координат, а стороны $AB$ и $AD$ лежали на осях $Ox$ и $Oy$ соответственно.

Пусть длина стороны $AB$ равна $a$, а длина стороны $AD$ равна $b$. Тогда, исходя из нашего расположения, координаты вершин прямоугольника будут следующими:

$A(0, 0)$

$B(a, 0)$

$C(a, b)$

$D(0, b)$

Пусть $O$ – это произвольная точка на плоскости, для которой мы доказываем утверждение. Присвоим ей координаты $(x, y)$.

Теперь найдем квадраты расстояний от точки $O$ до каждой из вершин прямоугольника. Для этого используем формулу квадрата расстояния между двумя точками $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, которая имеет вид $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$.

Для вершины $A(0,0)$: $AO^2 = (x - 0)^2 + (y - 0)^2 = x^2 + y^2$.

Для вершины $B(a,0)$: $BO^2 = (x - a)^2 + (y - 0)^2 = x^2 - 2ax + a^2 + y^2$.

Для вершины $C(a,b)$: $CO^2 = (x - a)^2 + (y - b)^2 = x^2 - 2ax + a^2 + y^2 - 2by + b^2$.

Для вершины $D(0,b)$: $DO^2 = (x - 0)^2 + (y - b)^2 = x^2 + y^2 - 2by + b^2$.

Теперь, имея все необходимые выражения, подставим их в левую и правую части доказываемого равенства $AO^2 + CO^2 = BO^2 + DO^2$.

Вычислим левую часть равенства, которая представляет собой сумму квадратов расстояний до противоположных вершин $A$ и $C$:

$AO^2 + CO^2 = (x^2 + y^2) + (x^2 - 2ax + a^2 + y^2 - 2by + b^2)$

Сгруппировав слагаемые, получим:

$AO^2 + CO^2 = 2x^2 + 2y^2 - 2ax - 2by + a^2 + b^2$.

Теперь вычислим правую часть равенства, которая является суммой квадратов расстояний до другой пары противоположных вершин $B$ и $D$:

$BO^2 + DO^2 = (x^2 - 2ax + a^2 + y^2) + (x^2 + y^2 - 2by + b^2)$

Сгруппировав слагаемые, получим:

$BO^2 + DO^2 = 2x^2 + 2y^2 - 2ax - 2by + a^2 + b^2$.

Сравнивая полученные выражения для левой и правой частей, мы видим, что они тождественно равны. Таким образом, мы доказали, что для любого прямоугольника $ABCD$ и любой точки $O$ на плоскости выполняется равенство $AO^2 + CO^2 = BO^2 + DO^2$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Сумма квадратов расстояний от произвольной точки плоскости до двух противоположных вершин прямоугольника равна сумме квадратов расстояний от этой же точки до двух других противоположных вершин.