Страница 91 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

◯ Областной центр

◯ Районный центр

● ГОРОД

■ Посёлок

◯ Село

АКМОЛИНСКАЯ ОБЛАСТЬ

$y$

$x$

ВОСТОЧНО-КАЗАХСТАНСКАЯ ОБЛАСТЬ

— Железная дорога

— Автомобильная дорога

Масштаб 1:5 000 000

Творческая работа

Выше изображена карта Карагандинской области. Выберите прямоугольную систему координат так, как показано на этом рисунке. По указанному масштабу найдите приближенные значения координат городов Жезказган, Балкаш и Темиртау. Найдите среднее значение этих координат. Сделайте выводы.

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат с началом в городе Караганды, как показано на карте. Ось x направлена на восток, а ось y — на север. Масштаб карты 1:5 000 000. Это означает, что 1 см на карте соответствует 5 000 000 см на местности.

Переведем масштаб в километры для удобства расчетов:$5 \ 000 \ 000 \text{ см} = 50 \ 000 \text{ м} = 50 \text{ км}$.
Таким образом, 1 см на карте равен 50 км на местности.

Определение координат городов

Измерим на карте расстояния от начала координат (г. Караганды) до городов Жезказган, Балкаш и Темиртау по осям x и y, а затем переведем их в километры, используя масштаб.

1. Жезказган: Расположен к западу и к югу от Караганды.
   • Измерение по оси x (на запад, т.е. координата отрицательная): примерно 8.6 см.
   • Измерение по оси y (на юг, т.е. координата отрицательная): примерно 1.4 см.
   Расчет координат в километрах:
   • $x_1 = -8.6 \text{ см} \times 50 \text{ км/см} = -430 \text{ км}$
   • $y_1 = -1.4 \text{ см} \times 50 \text{ км/см} = -70 \text{ км}$
   Координаты Жезказгана: $(-430, -70)$.
2. Балкаш: Расположен к юго-востоку от Караганды.
   • Измерение по оси x (на восток, координата положительная): примерно 7.2 см.
   • Измерение по оси y (на юг, координата отрицательная): примерно 7.6 см.
   Расчет координат в километрах:
   • $x_2 = 7.2 \text{ см} \times 50 \text{ км/см} = 360 \text{ км}$
   • $y_2 = -7.6 \text{ см} \times 50 \text{ км/см} = -380 \text{ км}$
   Координаты Балкаша: $(360, -380)$.
3. Темиртау: Расположен к северо-западу от Караганды.
   • Измерение по оси x (на запад, координата отрицательная): примерно 0.6 см.
   • Измерение по оси y (на север, координата положительная): примерно 0.7 см.
   Расчет координат в километрах:
   • $x_3 = -0.6 \text{ см} \times 50 \text{ км/см} = -30 \text{ км}$
   • $y_3 = 0.7 \text{ см} \times 50 \text{ км/см} = 35 \text{ км}$
   Координаты Темиртау: $(-30, 35)$.

Ответ: Приближенные координаты городов в километрах от Караганды: Жезказган $(-430, -70)$, Балкаш $(360, -380)$, Темиртау $(-30, 35)$.

Нахождение среднего значения этих координат

Среднее значение координат — это координаты точки, являющейся центром масс (центроидом) треугольника, в вершинах которого находятся указанные города. Для нахождения среднего значения нужно найти среднее арифметическое для каждой из координат (x и y).

Средняя координата по оси x:$x_{ср} = \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3} = \frac{-430 + 360 + (-30)}{3} = \frac{-70 - 30}{3} = \frac{-100}{3} \approx -33.3 \text{ км}$

Средняя координата по оси y:$y_{ср} = \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3} = \frac{-70 + (-380) + 35}{3} = \frac{-450 + 35}{3} = \frac{-415}{3} \approx -138.3 \text{ км}$

Ответ: Среднее значение координат: $(-33.3, -138.3)$.

Сделайте выводы

Проведенные расчеты позволяют сделать следующие выводы:

1. Геометрический центр. Найденная точка со средними координатами $(-33.3, -138.3)$ является географическим центром для трех крупнейших промышленных городов Карагандинской области (помимо самой Караганды). На карте эта точка располагается к юго-западу от Караганды, примерно в районе поселка Аксу-Аюлы, что указывает на центральное положение Карагандинского угольного бассейна относительно центров металлургии (Темиртау, Жезказган, Балкаш).
2. Масштаб территории. Координаты показывают огромные расстояния внутри одной области. Например, расстояние по прямой между Жезказганом и Балкашом составляет около 800 км. Это подчеркивает обширность территории Карагандинской области и важность транспортной инфраструктуры (железных и автомобильных дорог), связывающей эти промышленные центры.
3. Промышленная значимость. Жезказган, Балкаш и Темиртау — ключевые центры цветной и черной металлургии Казахстана. Их взаимное расположение и связь с Карагандой (центром угольной промышленности) формируют единый промышленный комплекс. Найденная средняя точка может рассматриваться как условный "промышленный центр тяжести" региона.

Ответ: Выводы показывают, что три города образуют треугольник, географический центр которого находится недалеко от посёлка Аксу-Аюлы. Это подчёркивает центральную роль Караганды в транспортно-логистической и промышленной системе региона. Большие расстояния между городами свидетельствуют об огромных масштабах Карагандинской области.

4.1. Постройте в декартовой системе координат точки:

$A(2; 1)$, $B(\frac{1}{2}; 1)$, $C(1; -4)$, $D(0; 1)$, $E(-3; 2)$, $F(-3; 3)$.

Для построения точек в декартовой системе координат используется пара чисел $(x; y)$, где $x$ — это абсцисса (горизонтальная координата), а $y$ — ордината (вертикальная координата). Положение точки определяется смещением от начала координат (точки $(0;0)$).

Алгоритм построения точки $(x; y)$:

1. Найти на горизонтальной оси (оси Ox) значение, равное абсциссе $x$. Если $x > 0$, двигаемся вправо от нуля; если $x < 0$, двигаемся влево. Если $x=0$, остаемся в начале координат.
2. От найденной на оси Ox точки переместиться вертикально (параллельно оси Oy) на расстояние, равное ординате $y$. Если $y > 0$, двигаемся вверх; если $y < 0$, двигаемся вниз. Если $y=0$, остаемся на оси Ox.

Построим каждую из заданных точек, следуя этому алгоритму.

Координаты точки A: абсцисса $x = 2$, ордината $y = 1$.
От начала координат откладываем 2 единицы вправо по оси Ox. Из этой точки поднимаемся на 1 единицу вверх параллельно оси Oy. Отмечаем полученное положение как точку A.

Координаты точки B: абсцисса $x = \frac{1}{2} = 0.5$, ордината $y = 1$.
От начала координат откладываем 0.5 единицы (половину единичного отрезка) вправо по оси Ox. Из этой точки поднимаемся на 1 единицу вверх параллельно оси Oy. Отмечаем полученное положение как точку B.

Координаты точки C: абсцисса $x = 1$, ордината $y = -4$.
От начала координат откладываем 1 единицу вправо по оси Ox. Из этой точки опускаемся на 4 единицы вниз параллельно оси Oy. Отмечаем полученное положение как точку C.

Координаты точки D: абсцисса $x = 0$, ордината $y = 1$.
Так как абсцисса равна 0, мы остаемся на оси Oy. От начала координат поднимаемся на 1 единицу вверх по оси Oy. Точка D лежит непосредственно на оси ординат.

Координаты точки E: абсцисса $x = -3$, ордината $y = 2$.
От начала координат откладываем 3 единицы влево по оси Ox. Из этой точки поднимаемся на 2 единицы вверх параллельно оси Oy. Отмечаем полученное положение как точку E.

Координаты точки F: абсцисса $x = -3$, ордината $y = 3$.
От начала координат откладываем 3 единицы влево по оси Ox. Из этой точки поднимаемся на 3 единицы вверх параллельно оси Oy. Отмечаем полученное положение как точку F.

Ответ:

Графическое построение всех указанных точек в декартовой системе координат представлено ниже.

4.2. Точки $A$ и $B$ лежат соответственно на осях $Ox$ и $Oy$ в их положительной части. Найдите координаты вершин треугольника $ABO$, если:

1) $OA = 5, OB = 3$;

2) $OA = a, OB = b$.

По условию задачи, O - это начало координат, поэтому его координаты всегда $O(0, 0)$.

Точка A лежит на положительной части оси Ox. Это означает, что ее ордината (координата y) равна 0, а ее абсцисса (координата x) положительна и равна расстоянию от начала координат, то есть $OA$. Таким образом, координаты точки A будут $(OA, 0)$.

Точка B лежит на положительной части оси Oy. Это означает, что ее абсцисса (координата x) равна 0, а ее ордината (координата y) положительна и равна расстоянию от начала координат, то есть $OB$. Таким образом, координаты точки B будут $(0, OB)$.

Теперь найдем координаты для каждого случая.

1) OA = 5, OB = 3

Вершина O имеет координаты $O(0, 0)$.

Для вершины A, так как $OA = 5$, ее координаты будут $A(5, 0)$.

Для вершины B, так как $OB = 3$, ее координаты будут $B(0, 3)$.

Ответ: $A(5, 0)$, $B(0, 3)$, $O(0, 0)$.

2) OA = a, OB = b

Это общий случай. Рассуждая аналогично предыдущему пункту, мы используем переменные $a$ и $b$. Так как точки лежат на положительных частях осей, мы предполагаем, что $a > 0$ и $b > 0$.

Вершина O имеет координаты $O(0, 0)$.

Для вершины A, так как $OA = a$, ее координаты будут $A(a, 0)$.

Для вершины B, так как $OB = b$, ее координаты будут $B(0, b)$.

Ответ: $A(a, 0)$, $B(0, b)$, $O(0, 0)$.

4.3. Катеты прямоугольного треугольника лежат на осях $Ox$ и $Oy$, причем их длины соответственно равны $a$ и $b$. Каковы координаты вершин треугольника, если он расположен:

1) в первой четверти;

2) во второй четверти;

3) в третьей четверти;

4) в четвертой четверти?

Поскольку катеты прямоугольного треугольника лежат на осях координат $Ox$ и $Oy$, это означает, что вершина прямого угла находится в начале координат, то есть в точке $O(0, 0)$. Две другие вершины треугольника лежат на этих осях. Пусть длина катета, лежащего на оси $Ox$, равна $a$, а длина катета на оси $Oy$ равна $b$. Координаты вершин будут зависеть от того, в какой координатной четверти расположен треугольник, что определяет знаки координат.

1) в первой четверти. В первой координатной четверти абсциссы ($x$) и ординаты ($y$) положительны. Следовательно, вершина на оси $Ox$ имеет положительную абсциссу, а ее координаты — $(a, 0)$. Вершина на оси $Oy$ имеет положительную ординату, а ее координаты — $(0, b)$. Третья вершина — начало координат. Таким образом, координаты вершин треугольника: $(0, 0)$, $(a, 0)$ и $(0, b)$.
Ответ: $(0, 0), (a, 0), (0, b)$.

2) во второй четверти. Во второй координатной четверти абсциссы ($x$) отрицательны, а ординаты ($y$) положительны. Следовательно, вершина на оси $Ox$ имеет отрицательную абсциссу, а ее координаты — $(-a, 0)$. Вершина на оси $Oy$ имеет положительную ординату, а ее координаты — $(0, b)$. Третья вершина — начало координат. Таким образом, координаты вершин треугольника: $(0, 0)$, $(-a, 0)$ и $(0, b)$.
Ответ: $(0, 0), (-a, 0), (0, b)$.

3) в третьей четверти. В третьей координатной четверти и абсциссы ($x$), и ординаты ($y$) отрицательны. Следовательно, вершина на оси $Ox$ имеет отрицательную абсциссу, а ее координаты — $(-a, 0)$. Вершина на оси $Oy$ имеет отрицательную ординату, а ее координаты — $(0, -b)$. Третья вершина — начало координат. Таким образом, координаты вершин треугольника: $(0, 0)$, $(-a, 0)$ и $(0, -b)$.
Ответ: $(0, 0), (-a, 0), (0, -b)$.

4) в четвертой четверти. В четвертой координатной четверти абсциссы ($x$) положительны, а ординаты ($y$) отрицательны. Следовательно, вершина на оси $Ox$ имеет положительную абсциссу, а ее координаты — $(a, 0)$. Вершина на оси $Oy$ имеет отрицательную ординату, а ее координаты — $(0, -b)$. Третья вершина — начало координат. Таким образом, координаты вершин треугольника: $(0, 0)$, $(a, 0)$ и $(0, -b)$.
Ответ: $(0, 0), (a, 0), (0, -b)$.