Страница 85 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.56. Докажите, что площадь любого равнобедренного треугольника равна произведению боковой стороны на перпендикуляр, проведенный из середины второй боковой стороны к первой.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$ и равными боковыми сторонами $AB$ и $BC$. Обозначим длину боковой стороны $b$, то есть $AB = BC = b$.

Пусть точка $M$ — середина боковой стороны $BC$ (второй боковой стороны). Тогда $BM = \frac{1}{2} BC = \frac{b}{2}$.

Проведем из точки $M$ перпендикуляр $MH$ к стороне $AB$ (первой боковой стороне). По условию задачи, нам нужно доказать, что площадь треугольника $ABC$, которую мы обозначим как $S_{ABC}$, равна произведению боковой стороны $AB$ на длину этого перпендикуляра $MH$. То есть, требуется доказать равенство: $S_{ABC} = AB \cdot MH$.

Для нахождения площади треугольника $ABC$ воспользуемся формулой, согласно которой площадь равна половине произведения стороны на высоту, проведенную к этой стороне. Выберем в качестве основания сторону $AB$ и проведем к ней высоту $CL$ из вершины $C$.

Таким образом, площадь треугольника $ABC$ можно выразить формулой: $S_{ABC} = \frac{1}{2} AB \cdot CL$.

Теперь рассмотрим два треугольника: $\triangle BCL$ и $\triangle BMH$. Угол $\angle B$ является общим для обоих треугольников. По построению, $CL$ является высотой к стороне $AB$, а $MH$ — перпендикуляром к той же стороне $AB$. Следовательно, $CL \parallel MH$. Также из этого следует, что углы $\angle BLC$ и $\angle BHM$ прямые, то есть $\angle BLC = \angle BHM = 90^\circ$. Таким образом, треугольники $\triangle BCL$ и $\triangle BMH$ являются прямоугольными и подобны по общему острому углу $\angle B$.

Из подобия треугольников следует, что их соответствующие стороны пропорциональны: $ \frac{MH}{CL} = \frac{BM}{BC} = \frac{BH}{BL} $

Нас интересует соотношение $\frac{MH}{CL} = \frac{BM}{BC}$. Так как по условию точка $M$ является серединой стороны $BC$, то $BM = \frac{1}{2} BC$. Подставим это в пропорцию: $ \frac{MH}{CL} = \frac{\frac{1}{2} BC}{BC} = \frac{1}{2} $

Из этого соотношения выразим длину высоты $CL$ через длину отрезка $MH$: $ CL = 2 \cdot MH $

Наконец, подставим полученное выражение для $CL$ в формулу площади треугольника $ABC$: $ S_{ABC} = \frac{1}{2} AB \cdot CL = \frac{1}{2} AB \cdot (2 \cdot MH) = AB \cdot MH $

Мы получили, что $S_{ABC} = AB \cdot MH$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Площадь любого равнобедренного треугольника действительно равна произведению боковой стороны на перпендикуляр, проведенный из середины второй боковой стороны к первой.