Номер 4.30, страница 94 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.30. Основание равнобедренного треугольника равно 80 см, а медиана, проведенная к нему, равна 160 см. Найдите остальные две медианы этого треугольника.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$, в котором основание $AC = 80$ см, а боковые стороны $AB = BC$. Медиана $BM$, проведенная к основанию, имеет длину $BM = 160$ см. Необходимо найти длины двух других медиан, $AN$ (проведенной к стороне $BC$) и $CP$ (проведенной к стороне $AB$).

В равнобедренном треугольнике медианы, проведенные к равным боковым сторонам, также равны. Следовательно, $AN = CP$. Таким образом, нам достаточно найти длину одной из этих медиан.

Медиана, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, является также его высотой. Таким образом, $BM$ перпендикулярна $AC$. Это означает, что треугольник $ABM$ является прямоугольным с прямым углом $\angle BMA$. Точка $M$ является серединой основания $AC$, поэтому длина отрезка $AM$ равна половине длины $AC$:

$AM = \frac{AC}{2} = \frac{80}{2} = 40$ см.

Теперь мы можем найти длину боковой стороны $AB$ по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $ABM$:

$AB^2 = AM^2 + BM^2$

Подставив известные значения, получим:

$AB^2 = 40^2 + 160^2 = 1600 + 25600 = 27200$

Следовательно, квадрат длины боковой стороны ($AB$ или $BC$) равен 27200.

Для нахождения длины медианы $AN$, проведенной к стороне $BC$, воспользуемся общей формулой для длины медианы треугольника. Если стороны треугольника равны $a, b, c$, то квадрат длины медианы $m_a$, проведенной к стороне $a$, вычисляется по формуле:

$m_a^2 = \frac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4}$

В нашем треугольнике $ABC$ стороны: $BC = \sqrt{27200}$, $AC = 80$, $AB = \sqrt{27200}$. Мы ищем медиану к стороне $BC$, то есть $m_{BC} = AN$.

$AN^2 = \frac{2(AC)^2 + 2(AB)^2 - (BC)^2}{4} = \frac{2 \cdot 80^2 + 2 \cdot 27200 - 27200}{4}$

$AN^2 = \frac{2 \cdot 6400 + 27200}{4} = \frac{12800 + 27200}{4} = \frac{40000}{4} = 10000$

Отсюда находим длину медианы $AN$:

$AN = \sqrt{10000} = 100$ см.

Так как $AN = CP$, то обе искомые медианы имеют одинаковую длину.

Ответ: две другие медианы равны по 100 см каждая.