Номер 4.31, страница 94 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.31. Высота треугольника, равная 10 см, делит его основание на отрезки, равные 10 см и 4 см. Найдите медиану, проведенную к меньшей из двух оставшихся сторон треугольника.

1. Нахождение длин сторон треугольника

Пусть в треугольнике $ABC$ высота $BH$, проведенная к основанию $AC$, равна 10 см. По условию, эта высота делит основание на отрезки $AH = 10$ см и $HC = 4$ см. Таким образом, длина основания $AC = AH + HC = 10 + 4 = 14$ см.

Поскольку $BH$ является высотой, треугольники $ABH$ и $CBH$ — прямоугольные. Используя теорему Пифагора, найдем длины двух других сторон треугольника, $AB$ и $BC$.

Для прямоугольного треугольника $ABH$ имеем:
$AB^2 = AH^2 + BH^2 = 10^2 + 10^2 = 100 + 100 = 200$
Следовательно, $AB = \sqrt{200} = 10\sqrt{2}$ см.

Для прямоугольного треугольника $CBH$ имеем:
$BC^2 = HC^2 + BH^2 = 4^2 + 10^2 = 16 + 100 = 116$
Следовательно, $BC = \sqrt{116} = 2\sqrt{29}$ см.

2. Определение меньшей из двух оставшихся сторон

Теперь необходимо сравнить длины сторон $AB$ и $BC$. Для удобства сравним их квадраты: $AB^2 = 200$ и $BC^2 = 116$. Так как $116 < 200$, то и $BC < AB$. Следовательно, меньшей из двух оставшихся сторон является сторона $BC$.

3. Вычисление длины медианы

Нам нужно найти медиану, проведенную к меньшей стороне, то есть к стороне $BC$. Обозначим эту медиану, проведенную из вершины $A$, как $m_a$. Для нахождения длины медианы воспользуемся формулой, связывающей медиану со сторонами треугольника:

$m_a^2 = \frac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4}$

В нашем треугольнике $ABC$ имеем стороны: $a = BC = \sqrt{116}$, $b = AC = 14$, $c = AB = \sqrt{200}$.

Подставляем известные значения в формулу:

$m_a^2 = \frac{2 \cdot (AC)^2 + 2 \cdot (AB)^2 - (BC)^2}{4} = \frac{2 \cdot 14^2 + 2 \cdot (\sqrt{200})^2 - (\sqrt{116})^2}{4}$

$m_a^2 = \frac{2 \cdot 196 + 2 \cdot 200 - 116}{4}$

$m_a^2 = \frac{392 + 400 - 116}{4}$

$m_a^2 = \frac{676}{4} = 169$

Отсюда находим длину искомой медианы:

$m_a = \sqrt{169} = 13$ см.

Ответ: 13 см.