Номер 4.17, страница 93 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.17. Дано: $A(4; 0)$, $B(12; -2)$, $C(5; -9)$. Для треугольника $ABC$ найдите:

1) его периметр;

2) длину медианы $AN$;

3) координаты центра описанной окружности и ее радиуса.

1) его периметр

Периметр треугольника $P_{ABC}$ равен сумме длин его сторон: $P = AB + BC + AC$.Найдем длину каждой стороны по формуле расстояния между двумя точками $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.Координаты вершин: A(4; 0), B(12; -2), C(5; -9).
Длина стороны AB:
$AB = \sqrt{(12 - 4)^2 + (-2 - 0)^2} = \sqrt{8^2 + (-2)^2} = \sqrt{64 + 4} = \sqrt{68} = 2\sqrt{17}$.
Длина стороны BC:
$BC = \sqrt{(5 - 12)^2 + (-9 - (-2))^2} = \sqrt{(-7)^2 + (-7)^2} = \sqrt{49 + 49} = \sqrt{98} = 7\sqrt{2}$.
Длина стороны AC:
$AC = \sqrt{(5 - 4)^2 + (-9 - 0)^2} = \sqrt{1^2 + (-9)^2} = \sqrt{1 + 81} = \sqrt{82}$.
Периметр треугольника:
$P = AB + BC + AC = 2\sqrt{17} + 7\sqrt{2} + \sqrt{82}$.
Ответ: $P = 2\sqrt{17} + 7\sqrt{2} + \sqrt{82}$.

2) длину медианы AN

Медиана AN соединяет вершину A с серединой N стороны BC.Сначала найдем координаты точки N, которая является серединой отрезка BC, по формуле: $N(\frac{x_B+x_C}{2}; \frac{y_B+y_C}{2})$.
$x_N = \frac{12 + 5}{2} = \frac{17}{2}$
$y_N = \frac{-2 + (-9)}{2} = \frac{-11}{2}$
Таким образом, координаты точки $N(\frac{17}{2}; -\frac{11}{2})$.
Теперь найдем длину медианы AN как расстояние между точками A(4; 0) и $N(\frac{17}{2}; -\frac{11}{2})$.
$AN = \sqrt{(\frac{17}{2} - 4)^2 + (-\frac{11}{2} - 0)^2} = \sqrt{(\frac{17 - 8}{2})^2 + (-\frac{11}{2})^2} = \sqrt{(\frac{9}{2})^2 + (\frac{11}{2})^2} = \sqrt{\frac{81}{4} + \frac{121}{4}} = \sqrt{\frac{202}{4}} = \frac{\sqrt{202}}{2}$.
Ответ: $AN = \frac{\sqrt{202}}{2}$.

3) координаты центра описанной окружности и ее радиуса

Центр описанной окружности O(x; y) равноудален от всех вершин треугольника, то есть $OA = OB = OC$. Это также означает, что $OA^2 = OB^2 = OC^2$.
Запишем уравнения, используя формулу квадрата расстояния $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$.
$OA^2 = (x - 4)^2 + (y - 0)^2 = x^2 - 8x + 16 + y^2$
$OB^2 = (x - 12)^2 + (y - (-2))^2 = x^2 - 24x + 144 + y^2 + 4y + 4$
$OC^2 = (x - 5)^2 + (y - (-9))^2 = x^2 - 10x + 25 + y^2 + 18y + 81$
Составим систему уравнений, приравняв эти выражения.
1) $OA^2 = OB^2$:
$x^2 - 8x + 16 + y^2 = x^2 - 24x + 144 + y^2 + 4y + 4$
$-8x + 16 = -24x + 148 + 4y$
$16x - 4y = 132$
$4x - y = 33$ (Уравнение 1)
2) $OB^2 = OC^2$:
$x^2 - 24x + 144 + y^2 + 4y + 4 = x^2 - 10x + 25 + y^2 + 18y + 81$
$-24x + 4y + 148 = -10x + 18y + 106$
$-14x - 14y = -42$
$x + y = 3$ (Уравнение 2)
Решим систему из двух уравнений:
$\begin{cases} 4x - y = 33 \\ x + y = 3 \end{cases}$
Сложим два уравнения: $(4x - y) + (x + y) = 33 + 3 \implies 5x = 36 \implies x = \frac{36}{5}$.
Подставим $x$ во второе уравнение: $\frac{36}{5} + y = 3 \implies y = 3 - \frac{36}{5} = \frac{15 - 36}{5} = -\frac{21}{5}$.
Координаты центра описанной окружности $O(\frac{36}{5}; -\frac{21}{5})$.
Радиус описанной окружности $R$ равен расстоянию от центра O до любой из вершин, например, до A.
$R^2 = OA^2 = (4 - \frac{36}{5})^2 + (0 - (-\frac{21}{5}))^2$
$R^2 = (\frac{20 - 36}{5})^2 + (\frac{21}{5})^2 = (-\frac{16}{5})^2 + (\frac{21}{5})^2 = \frac{256}{25} + \frac{441}{25} = \frac{697}{25}$.
$R = \sqrt{\frac{697}{25}} = \frac{\sqrt{697}}{5}$.
Ответ: Координаты центра $O(\frac{36}{5}; -\frac{21}{5})$, радиус $R = \frac{\sqrt{697}}{5}$.