Номер 4.14, страница 93 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.14. Докажите, что четырехугольник ABCD с вершинами в точках $A(-1; 2)$, $B(2; 5)$, $C(2; 1)$, $D(-1; -2)$ является параллелограммом.

Для доказательства того, что четырехугольник ABCD является параллелограммом, необходимо показать, что выполняется один из признаков параллелограмма. Рассмотрим несколько способов доказательства.

Способ 1: Равенство и параллельность противоположных сторон (векторный метод)

Четырехугольник является параллелограммом, если векторы, образующие его противоположные стороны, равны. Равенство векторов означает, что они не только равны по длине, но и параллельны и одинаково направлены. Проверим, выполняется ли равенство $\vec{AB} = \vec{DC}$.

Координаты вектора, заданного двумя точками $M_1(x_1, y_1)$ и $M_2(x_2, y_2)$, вычисляются по формуле: $\vec{M_1M_2} = (x_2 - x_1; y_2 - y_1)$.

Найдем координаты вектора $\vec{AB}$, используя координаты точек A(-1; 2) и B(2; 5):
$\vec{AB} = (2 - (-1); 5 - 2) = (3; 3)$.

Найдем координаты вектора $\vec{DC}$, используя координаты точек D(-1; -2) и C(2; 1):
$\vec{DC} = (2 - (-1); 1 - (-2)) = (3; 3)$.

Поскольку $\vec{AB} = (3; 3)$ и $\vec{DC} = (3; 3)$, то векторы равны. Это означает, что стороны AB и DC параллельны и равны по длине. Согласно признаку параллелограмма (если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны), четырехугольник ABCD является параллелограммом.

Способ 2: Попарное равенство противоположных сторон (через длины)

Четырехугольник является параллелограммом, если его противоположные стороны попарно равны. Найдем длины всех сторон четырехугольника по формуле расстояния между двумя точками $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$.

Длина стороны AB:
$|AB| = \sqrt{(2 - (-1))^2 + (5 - 2)^2} = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18}$.

Длина стороны DC:
$|DC| = \sqrt{(2 - (-1))^2 + (1 - (-2))^2} = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18}$.

Видим, что $|AB| = |DC|$.

Длина стороны BC:
$|BC| = \sqrt{(2 - 2)^2 + (1 - 5)^2} = \sqrt{0^2 + (-4)^2} = \sqrt{0 + 16} = \sqrt{16} = 4$.

Длина стороны AD:
$|AD| = \sqrt{(-1 - (-1))^2 + (-2 - 2)^2} = \sqrt{0^2 + (-4)^2} = \sqrt{0 + 16} = \sqrt{16} = 4$.

Видим, что $|BC| = |AD|$.

Так как противоположные стороны четырехугольника попарно равны ($|AB| = |DC|$ и $|BC| = |AD|$), то ABCD — параллелограмм.

Способ 3: Пересечение диагоналей в одной точке и деление их пополам

Четырехугольник является параллелограммом, если его диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Это эквивалентно тому, что середины диагоналей совпадают. Найдем координаты середин диагоналей AC и BD по формуле $M(\frac{x_1+x_2}{2}; \frac{y_1+y_2}{2})$.

Найдем координаты середины диагонали AC (назовем ее точкой O):
$x_O = \frac{x_A + x_C}{2} = \frac{-1 + 2}{2} = \frac{1}{2}$
$y_O = \frac{y_A + y_C}{2} = \frac{2 + 1}{2} = \frac{3}{2}$
Координаты середины AC: $O(\frac{1}{2}; \frac{3}{2})$.

Найдем координаты середины диагонали BD (назовем ее точкой P):
$x_P = \frac{x_B + x_D}{2} = \frac{2 + (-1)}{2} = \frac{1}{2}$
$y_P = \frac{y_B + y_D}{2} = \frac{5 + (-2)}{2} = \frac{3}{2}$
Координаты середины BD: $P(\frac{1}{2}; \frac{3}{2})$.

Поскольку координаты середин диагоналей AC и BD совпадают ($O=P$), диагонали пересекаются в одной точке и делятся ею пополам. Следовательно, ABCD — параллелограмм.

Ответ: Четырехугольник ABCD является параллелограммом, так как выполняются признаки параллелограмма: его противоположные стороны равны и параллельны (векторы $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$ равны), а его диагонали AC и BD пересекаются в одной точке $(\frac{1}{2}; \frac{3}{2})$ и делятся ею пополам. Что и требовалось доказать.