Номер 4.7, страница 92 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.7. Пусть A (2; 3), B (-1; 2). Найдите координаты точки, которая делит отрезок AB в отношении:

1) $\lambda = 1$;

2) $\lambda = \frac{1}{2}$;

3) $\lambda = 2$;

4) $\lambda = \frac{2}{3}$.

Для нахождения координат точки M(x; y), которая делит отрезок AB с концами в точках A($x_1$; $y_1$) и B($x_2$; $y_2$) в заданном отношении $\lambda = \frac{AM}{MB}$, используются следующие формулы:

$x = \frac{x_1 + \lambda x_2}{1 + \lambda}$

$y = \frac{y_1 + \lambda y_2}{1 + \lambda}$

В нашей задаче даны точки A(2; 3) и B(–1; 2). Следовательно, $x_1 = 2$, $y_1 = 3$, $x_2 = -1$, $y_2 = 2$.

1) $\lambda = 1$

Подставляем значения в формулы:

$x = \frac{2 + 1 \cdot (-1)}{1 + 1} = \frac{2 - 1}{2} = \frac{1}{2}$

$y = \frac{3 + 1 \cdot 2}{1 + 1} = \frac{3 + 2}{2} = \frac{5}{2}$

Координаты искомой точки: $(\frac{1}{2}; \frac{5}{2})$.

Ответ: $(\frac{1}{2}; \frac{5}{2})$

2) $\lambda = \frac{1}{2}$

Подставляем значения в формулы:

$x = \frac{2 + \frac{1}{2} \cdot (-1)}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{2 - \frac{1}{2}}{\frac{3}{2}} = \frac{\frac{3}{2}}{\frac{3}{2}} = 1$

$y = \frac{3 + \frac{1}{2} \cdot 2}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{3 + 1}{\frac{3}{2}} = \frac{4}{\frac{3}{2}} = 4 \cdot \frac{2}{3} = \frac{8}{3}$

Координаты искомой точки: $(1; \frac{8}{3})$.

Ответ: $(1; \frac{8}{3})$

3) $\lambda = 2$

Подставляем значения в формулы:

$x = \frac{2 + 2 \cdot (-1)}{1 + 2} = \frac{2 - 2}{3} = \frac{0}{3} = 0$

$y = \frac{3 + 2 \cdot 2}{1 + 2} = \frac{3 + 4}{3} = \frac{7}{3}$

Координаты искомой точки: $(0; \frac{7}{3})$.

Ответ: $(0; \frac{7}{3})$

4) $\lambda = \frac{2}{3}$

Подставляем значения в формулы:

$x = \frac{2 + \frac{2}{3} \cdot (-1)}{1 + \frac{2}{3}} = \frac{2 - \frac{2}{3}}{\frac{5}{3}} = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{5}{3}} = \frac{4}{5}$

$y = \frac{3 + \frac{2}{3} \cdot 2}{1 + \frac{2}{3}} = \frac{3 + \frac{4}{3}}{\frac{5}{3}} = \frac{\frac{13}{3}}{\frac{5}{3}} = \frac{13}{5}$

Координаты искомой точки: $(\frac{4}{5}; \frac{13}{5})$.

Ответ: $(\frac{4}{5}; \frac{13}{5})$