Номер 4.13, страница 92 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

Для решения этой задачи воспользуемся одним из ключевых свойств параллелограмма: его диагонали пересекаются и в точке пересечения делятся пополам. В параллелограмме ABCD это означает, что середина диагонали AC совпадает с серединой диагонали BD.

Даны координаты трех вершин:

• A(0; 0)
• B(5; 0)
• C(12; 3)

Пусть искомая четвертая вершина D имеет координаты $(x; y)$.

Шаг 1: Найти координаты середины диагонали AC.

Координаты середины отрезка (обозначим ее M) с концами в точках $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ вычисляются по формулам:

$x_M = \frac{x_1 + x_2}{2}, \quad y_M = \frac{y_1 + y_2}{2}$

Подставим координаты точек A(0; 0) и C(12; 3):

$x_M = \frac{0 + 12}{2} = 6$

$y_M = \frac{0 + 3}{2} = 1.5$

Таким образом, середина диагонали AC — это точка M с координатами (6; 1.5).

Шаг 2: Выразить координаты середины диагонали BD.

Точка M также является серединой диагонали BD. Выразим ее координаты через известные координаты точки B(5; 0) и неизвестные координаты точки D(x; y):

$x_M = \frac{x_B + x_D}{2} = \frac{5 + x}{2}$

$y_M = \frac{y_B + y_D}{2} = \frac{0 + y}{2} = \frac{y}{2}$

Шаг 3: Приравнять координаты и найти x и y.

Поскольку середина у диагоналей одна и та же, мы можем приравнять полученные выражения для ее координат:

Приравниваем абсциссы (координаты x):

$\frac{5 + x}{2} = 6$

Умножим обе части на 2:

$5 + x = 12$

$x = 12 - 5$

$x = 7$

Приравниваем ординаты (координаты y):

$\frac{y}{2} = 1.5$

Умножим обе части на 2:

$y = 1.5 \cdot 2$

$y = 3$

Следовательно, координаты четвертой вершины D — (7; 3).

Ответ: Координаты четвертой вершины D(7; 3).