Номер 4.15, страница 93 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.15. Даны точки $A_1, A_2, A_3, A_4, A_5, A_6$, лежащие на одной прямой и удовлетворяющие условию $A_1A_2 = A_2A_3 = A_3A_4 = A_4A_5 = A_5A_6$. Найдите координаты точек, если $A_2(5; 5)$ и $A_5(-1; 7)$.

Поскольку точки $A_1, A_2, A_3, A_4, A_5, A_6$ лежат на одной прямой и удовлетворяют условию $A_1A_2 = A_2A_3 = A_3A_4 = A_4A_5 = A_5A_6$, они расположены на равном расстоянии друг от друга. Это означает, что векторы, соединяющие соседние точки, равны. Обозначим этот постоянный вектор как $\vec{d}$:
$\vec{d} = \vec{A_1A_2} = \vec{A_2A_3} = \dots = \vec{A_5A_6}$.

Используя известные координаты точек $A_2(5; 5)$ и $A_5(-1; 7)$, мы можем найти вектор $\vec{A_2A_5}$. Этот вектор равен сумме трех векторов $\vec{d}$:
$\vec{A_2A_5} = \vec{A_2A_3} + \vec{A_3A_4} + \vec{A_4A_5} = 3\vec{d}$.

Координаты вектора $\vec{A_2A_5}$ вычисляются как разность координат его конечной и начальной точек:
$\vec{A_2A_5} = (x_{A_5} - x_{A_2}; y_{A_5} - y_{A_2}) = (-1 - 5; 7 - 5) = (-6; 2)$.

Теперь мы можем найти вектор $\vec{d}$:
$3\vec{d} = (-6; 2)$
$\vec{d} = (\frac{-6}{3}; \frac{2}{3}) = (-2; \frac{2}{3})$.

Зная вектор $\vec{d}$, найдем координаты остальных точек. Координаты точки $A_{n+1}$ получаются прибавлением координат вектора $\vec{d}$ к координатам точки $A_n$, а координаты $A_{n-1}$ — вычитанием.

Координаты точки $A_1$:
$\vec{OA_1} = \vec{OA_2} - \vec{d} \Rightarrow A_1 = (5 - (-2); 5 - \frac{2}{3}) = (7; \frac{15}{3} - \frac{2}{3}) = (7; \frac{13}{3})$.

Координаты точки $A_3$:
$\vec{OA_3} = \vec{OA_2} + \vec{d} \Rightarrow A_3 = (5 + (-2); 5 + \frac{2}{3}) = (3; \frac{15}{3} + \frac{2}{3}) = (3; \frac{17}{3})$.

Координаты точки $A_4$:
$\vec{OA_4} = \vec{OA_3} + \vec{d} \Rightarrow A_4 = (3 + (-2); \frac{17}{3} + \frac{2}{3}) = (1; \frac{19}{3})$.

Координаты точки $A_6$:
$\vec{OA_6} = \vec{OA_5} + \vec{d} \Rightarrow A_6 = (-1 + (-2); 7 + \frac{2}{3}) = (-3; \frac{21}{3} + \frac{2}{3}) = (-3; \frac{23}{3})$.

Ответ: $A_1(7; \frac{13}{3})$, $A_2(5; 5)$, $A_3(3; \frac{17}{3})$, $A_4(1; \frac{19}{3})$, $A_5(-1; 7)$, $A_6(-3; \frac{23}{3})$.