Номер 4.18, страница 93 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1) A(0; 1), B(1; -4), C(5; x)

Чтобы доказать, что треугольник $ABC$ является равнобедренным, нужно показать, что существует такое значение $x$, при котором длины двух его сторон будут равны. Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны.

Для нахождения длин сторон воспользуемся формулой расстояния между двумя точками с координатами $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$: $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$. Для удобства будем работать с квадратами длин.

Найдем квадрат длины стороны $AB$:

$|AB|^2 = (1-0)^2 + (-4-1)^2 = 1^2 + (-5)^2 = 1 + 25 = 26$.

Найдем квадрат длины стороны $AC$ в зависимости от $x$:

$|AC|^2 = (5-0)^2 + (x-1)^2 = 5^2 + x^2 - 2x + 1 = x^2 - 2x + 26$.

Найдем квадрат длины стороны $BC$ в зависимости от $x$:

$|BC|^2 = (5-1)^2 + (x-(-4))^2 = 4^2 + (x+4)^2 = 16 + x^2 + 8x + 16 = x^2 + 8x + 32$.

Чтобы треугольник был равнобедренным, должно выполняться одно из равенств: $|AB| = |AC|$, $|AB| = |BC|$ или $|AC| = |BC|$. Проверим, при каких $x$ возможно равенство $|AB| = |AC|$.

$|AB|^2 = |AC|^2$

$26 = x^2 - 2x + 26$

$x^2 - 2x = 0$

$x(x-2) = 0$

Данное уравнение имеет два решения: $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$.

Это означает, что если ордината точки $C$ равна 0 или 2, то треугольник $ABC$ будет равнобедренным со сторонами $AB = AC$. Например, при $x=0$ имеем $|AC|^2 = 0^2 - 2(0) + 26 = 26$, что равно $|AB|^2$.

Ответ: Так как существует значение $x$ (например, $x=0$ или $x=2$), при котором две стороны треугольника ($AB$ и $AC$) равны, то доказано, что треугольник $ABC$ является равнобедренным. Что и требовалось доказать.

2) A(-4; 1), B(-2; 4), C(0; x)

Аналогично первому пункту, докажем, что существует значение $x$, при котором треугольник $ABC$ будет равнобедренным. Найдем квадраты длин его сторон.

Квадрат длины стороны $AB$:

$|AB|^2 = (-2-(-4))^2 + (4-1)^2 = (2)^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13$.

Квадрат длины стороны $BC$ в зависимости от $x$:

$|BC|^2 = (0-(-2))^2 + (x-4)^2 = 2^2 + (x-4)^2 = 4 + x^2 - 8x + 16 = x^2 - 8x + 20$.

Квадрат длины стороны $AC$ в зависимости от $x$:

$|AC|^2 = (0-(-4))^2 + (x-1)^2 = 4^2 + (x-1)^2 = 16 + x^2 - 2x + 1 = x^2 - 2x + 17$.

Проверим, при каких $x$ возможно равенство $|AB| = |BC|$.

$|AB|^2 = |BC|^2$

$13 = x^2 - 8x + 20$

$x^2 - 8x + 7 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 8, а их произведение равно 7. Корни уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = 7$.

Это означает, что если ордината точки $C$ равна 1 или 7, то треугольник $ABC$ будет равнобедренным со сторонами $AB = BC$. Например, при $x=1$ имеем $|BC|^2 = 1^2 - 8(1) + 20 = 1 - 8 + 20 = 13$, что равно $|AB|^2$.

Ответ: Так как существует значение $x$ (например, $x=1$ или $x=7$), при котором две стороны треугольника ($AB$ и $BC$) равны, то доказано, что треугольник $ABC$ является равнобедренным. Что и требовалось доказать.