Номер 4.19, страница 93 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.19. Найдите на оси ординат точку, равноудаленную от точек:

1) $A(-3; 5)$ и $B(6; 4);$

2) $C(1; 1)$ и $D(8; 1).$

Пусть искомая точка $M$ лежит на оси ординат, следовательно, ее абсцисса равна нулю, а ее координаты имеют вид $M(0; y)$. Расстояние между двумя точками $P_1(x_1; y_1)$ и $P_2(x_2; y_2)$ вычисляется по формуле: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$. Условие равноудаленности точки $M$ от двух других точек означает, что расстояния от $M$ до этих точек равны. Для удобства вычислений будем сравнивать квадраты расстояний.

1) Найдем точку $M(0; y)$, равноудаленную от точек $A(-3; 5)$ и $B(6; 4)$. По условию, расстояние $AM$ равно расстоянию $BM$, то есть $AM = BM$. Возведем обе части равенства в квадрат: $AM^2 = BM^2$. Выразим квадраты расстояний через координаты точек:
$AM^2 = (x_A - x_M)^2 + (y_A - y_M)^2 = (-3 - 0)^2 + (5 - y)^2 = 9 + (5 - y)^2$.
$BM^2 = (x_B - x_M)^2 + (y_B - y_M)^2 = (6 - 0)^2 + (4 - y)^2 = 36 + (4 - y)^2$.
Приравняем эти выражения:
$9 + (5 - y)^2 = 36 + (4 - y)^2$.
Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$9 + (25 - 10y + y^2) = 36 + (16 - 8y + y^2)$.
$34 - 10y + y^2 = 52 - 8y + y^2$.
Сократим $y^2$ в обеих частях уравнения:
$34 - 10y = 52 - 8y$.
Перенесем слагаемые с $y$ в одну сторону, а числовые значения — в другую:
$-10y + 8y = 52 - 34$.
$-2y = 18$.
$y = \frac{18}{-2}$.
$y = -9$.
Следовательно, искомая точка имеет координаты $(0; -9)$.
Ответ: $(0; -9)$.

2) Найдем точку $M(0; y)$, равноудаленную от точек $C(1; 1)$ и $D(8; 1)$. По условию, $CM = DM$, или $CM^2 = DM^2$.
Выразим квадраты расстояний через координаты точек:
$CM^2 = (x_C - x_M)^2 + (y_C - y_M)^2 = (1 - 0)^2 + (1 - y)^2 = 1 + (1 - y)^2$.
$DM^2 = (x_D - x_M)^2 + (y_D - y_M)^2 = (8 - 0)^2 + (1 - y)^2 = 64 + (1 - y)^2$.
Приравняем выражения:
$1 + (1 - y)^2 = 64 + (1 - y)^2$.
Сократим одинаковые слагаемые $(1 - y)^2$ в обеих частях уравнения:
$1 = 64$.
Мы получили неверное равенство, которое не зависит от переменной $y$. Это означает, что уравнение не имеет решений. Следовательно, на оси ординат не существует точки, равноудаленной от точек $C$ и $D$.

Геометрически это можно объяснить так: множество всех точек, равноудаленных от двух данных точек (в данном случае $C$ и $D$), является серединным перпендикуляром к отрезку, соединяющему эти точки. Точки $C(1; 1)$ и $D(8; 1)$ лежат на горизонтальной прямой $y = 1$. Серединный перпендикуляр к горизонтальному отрезку — это вертикальная прямая. Она проходит через середину отрезка $CD$, точка которой имеет абсциссу $x = \frac{1+8}{2} = 4.5$. Таким образом, серединный перпендикуляр — это прямая $x = 4.5$. Искомая точка должна лежать на оси ординат (прямая $x = 0$) и одновременно на серединном перпендикуляре ($x = 4.5$). Поскольку прямые $x=0$ и $x=4.5$ параллельны и не пересекаются, такой точки не существует.
Ответ: такой точки не существует.