Номер 4.9, страница 92 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.9. Докажите, что треугольник $ABC$ равнобедренный, если:

1) A (0; 1), B (1; -4), C (5; 2);

2) A (-4; 1), B (-2; 4), C (0; 1).

Для доказательства того, что треугольник является равнобедренным, необходимо вычислить длины всех его сторон и показать, что хотя бы две из них равны. Длина отрезка между точками с координатами $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$ вычисляется по формуле:
$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

1)

Найдем длины сторон треугольника с вершинами в точках $A(0; 1)$, $B(1; -4)$, $C(5; 2)$.
Длина стороны $AB$: $|AB| = \sqrt{(1 - 0)^2 + (-4 - 1)^2} = \sqrt{1^2 + (-5)^2} = \sqrt{1 + 25} = \sqrt{26}$.
Длина стороны $BC$: $|BC| = \sqrt{(5 - 1)^2 + (2 - (-4))^2} = \sqrt{4^2 + (2 + 4)^2} = \sqrt{16 + 6^2} = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52}$.
Длина стороны $AC$: $|AC| = \sqrt{(5 - 0)^2 + (2 - 1)^2} = \sqrt{5^2 + 1^2} = \sqrt{25 + 1} = \sqrt{26}$.
Поскольку $|AB| = |AC| = \sqrt{26}$, две стороны треугольника равны. Следовательно, треугольник $ABC$ является равнобедренным.

Ответ: Треугольник $ABC$ является равнобедренным, так как стороны $AB$ и $AC$ равны $\sqrt{26}$.

2)

Найдем длины сторон треугольника с вершинами в точках $A(-4; 1)$, $B(-2; 4)$, $C(0; 1)$.
Длина стороны $AB$: $|AB| = \sqrt{(-2 - (-4))^2 + (4 - 1)^2} = \sqrt{(-2 + 4)^2 + 3^2} = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$.
Длина стороны $BC$: $|BC| = \sqrt{(0 - (-2))^2 + (1 - 4)^2} = \sqrt{(0 + 2)^2 + (-3)^2} = \sqrt{2^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$.
Длина стороны $AC$: $|AC| = \sqrt{(0 - (-4))^2 + (1 - 1)^2} = \sqrt{(0 + 4)^2 + 0^2} = \sqrt{4^2 + 0} = \sqrt{16} = 4$.
Поскольку $|AB| = |BC| = \sqrt{13}$, две стороны треугольника равны. Следовательно, треугольник $ABC$ является равнобедренным.

Ответ: Треугольник $ABC$ является равнобедренным, так как стороны $AB$ и $BC$ равны $\sqrt{13}$.