Номер 4.4, страница 92 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.4. Начало координат расположено в центре квадрата со стороной, равной $2a$. Каковы координаты вершин квадрата, если:

1) стороны квадрата параллельны осям координат;

2) диагонали квадрата лежат на осях координат?

1) стороны квадрата параллельны осям координат;
По условию задачи, центр квадрата находится в начале координат $O(0, 0)$, а его сторона равна $2a$. Если стороны квадрата параллельны осям координат, то он расположен симметрично относительно этих осей. Расстояние от центра квадрата (начала координат) до любой его стороны равно половине длины стороны, то есть $2a / 2 = a$.
Следовательно, вертикальные стороны квадрата лежат на прямых, описываемых уравнениями $x = a$ и $x = -a$. Горизонтальные стороны лежат на прямых $y = a$ и $y = -a$.
Вершины квадрата — это точки пересечения этих прямых. Найдем их координаты:
Вершина в I координатной четверти: пересечение прямых $x = a$ и $y = a$ дает точку $(a, a)$.
Вершина во II координатной четверти: пересечение прямых $x = -a$ и $y = a$ дает точку $(-a, a)$.
Вершина в III координатной четверти: пересечение прямых $x = -a$ и $y = -a$ дает точку $(-a, -a)$.
Вершина в IV координатной четверти: пересечение прямых $x = a$ и $y = -a$ дает точку $(a, -a)$.

Ответ: $(a, a)$, $(-a, a)$, $(-a, -a)$, $(a, -a)$.

2) диагонали квадрата лежат на осях координат?
В этом случае диагонали квадрата лежат на осях Ox и Oy, а их точка пересечения — центр квадрата — совпадает с началом координат $O(0, 0)$. Это означает, что все вершины квадрата расположены на осях координат на одинаковом расстоянии от центра.
Это расстояние равно половине длины диагонали квадрата. Найдем длину диагонали $d$ для квадрата со стороной $s = 2a$ по теореме Пифагора:
$d^2 = s^2 + s^2 = (2a)^2 + (2a)^2 = 4a^2 + 4a^2 = 8a^2$
Отсюда $d = \sqrt{8a^2} = 2a\sqrt{2}$.
Расстояние от центра до каждой вершины равно половине диагонали: $r = d/2 = (2a\sqrt{2}) / 2 = a\sqrt{2}$.
Поскольку вершины лежат на осях координат, две из них будут иметь ненулевую абсциссу (координату x), а две — ненулевую ординату (координату y). Таким образом, их координаты:
$(a\sqrt{2}, 0)$, $(-a\sqrt{2}, 0)$, $(0, a\sqrt{2})$ и $(0, -a\sqrt{2})$.

Ответ: $(a\sqrt{2}, 0)$, $(-a\sqrt{2}, 0)$, $(0, a\sqrt{2})$, $(0, -a\sqrt{2})$.