Номер 3.55, страница 84 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.55. Каждая вершина квадрата соединена с серединой одной из сторон так, как это показано на рис. 3.22. Докажите, что площадь квадрата, образованного этими отрезками, равна $\frac{1}{5}$ площади данного квадрата.

Рис. 3.22

Для доказательства данного утверждения можно использовать несколько методов. Наиболее наглядным и строгим является метод координат.

1. Введение системы координат и определение точек.

Пусть сторона исходного квадрата равна $a$. Расположим его в декартовой системе координат так, чтобы его вершины имели следующие координаты: $D(0, 0)$, $C(a, 0)$, $B(a, a)$ и $A(0, a)$. Площадь этого квадрата, $S_{ABCD}$, равна $a^2$.

Согласно условию, каждая вершина соединена с серединой одной из сторон. Найдем координаты этих середин:

• Середина стороны $AB$: $M_{AB}(\frac{a}{2}, a)$
• Середина стороны $BC$: $M_{BC}(a, \frac{a}{2})$
• Середина стороны $CD$: $M_{CD}(\frac{a}{2}, 0)$
• Середина стороны $DA$: $M_{AD}(0, \frac{a}{2})$

На рисунке показано, что отрезки соединяют следующие точки:

• Вершину $A(0, a)$ с серединой $M_{BC}(a, \frac{a}{2})$
• Вершину $B(a, a)$ с серединой $M_{CD}(\frac{a}{2}, 0)$
• Вершину $C(a, 0)$ с серединой $M_{AD}(0, \frac{a}{2})$
• Вершину $D(0, 0)$ с серединой $M_{AB}(\frac{a}{2}, a)$

2. Составление уравнений прямых.

Найдем уравнения четырех прямых, на которых лежат построенные отрезки. Уравнение прямой, проходящей через две точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, имеет вид $y - y_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x - x_1)$.

• Прямая $AM_{BC}$: проходит через $A(0, a)$ и $M_{BC}(a, \frac{a}{2})$. Ее уравнение: $y - a = \frac{a/2 - a}{a - 0}(x - 0) \implies y = -\frac{1}{2}x + a$.
• Прямая $BM_{CD}$: проходит через $B(a, a)$ и $M_{CD}(\frac{a}{2}, 0)$. Ее уравнение: $y - a = \frac{0 - a}{a/2 - a}(x - a) \implies y - a = 2(x - a) \implies y = 2x - a$.
• Прямая $CM_{AD}$: проходит через $C(a, 0)$ и $M_{AD}(0, \frac{a}{2})$. Ее уравнение: $y - 0 = \frac{a/2 - 0}{0 - a}(x - a) \implies y = -\frac{1}{2}x + \frac{a}{2}$.
• Прямая $DM_{AB}$: проходит через $D(0, 0)$ и $M_{AB}(\frac{a}{2}, a)$. Ее уравнение: $y - 0 = \frac{a - 0}{a/2 - 0}(x - 0) \implies y = 2x$.

3. Нахождение вершин внутреннего четырехугольника.

Вершины внутреннего четырехугольника являются точками пересечения этих прямых. Найдем их координаты, решая соответствующие системы уравнений.

• Вершина 1 (пересечение $y = 2x$ и $y = -\frac{1}{2}x + \frac{a}{2}$):
  $2x = -\frac{1}{2}x + \frac{a}{2} \implies \frac{5}{2}x = \frac{a}{2} \implies x = \frac{a}{5}$.
  $y = 2 \cdot \frac{a}{5} = \frac{2a}{5}$. Координаты: $(\frac{a}{5}, \frac{2a}{5})$.
• Вершина 2 (пересечение $y = -\frac{1}{2}x + \frac{a}{2}$ и $y = 2x - a$):
  $2x - a = -\frac{1}{2}x + \frac{a}{2} \implies \frac{5}{2}x = \frac{3a}{2} \implies x = \frac{3a}{5}$.
  $y = 2 \cdot \frac{3a}{5} - a = \frac{6a}{5} - a = \frac{a}{5}$. Координаты: $(\frac{3a}{5}, \frac{a}{5})$.
• Вершина 3 (пересечение $y = 2x - a$ и $y = -\frac{1}{2}x + a$):
  $-\frac{1}{2}x + a = 2x - a \implies 2a = \frac{5}{2}x \implies x = \frac{4a}{5}$.
  $y = 2 \cdot \frac{4a}{5} - a = \frac{8a}{5} - a = \frac{3a}{5}$. Координаты: $(\frac{4a}{5}, \frac{3a}{5})$.
• Вершина 4 (пересечение $y = -\frac{1}{2}x + a$ и $y = 2x$):
  $2x = -\frac{1}{2}x + a \implies \frac{5}{2}x = a \implies x = \frac{2a}{5}$.
  $y = 2 \cdot \frac{2a}{5} = \frac{4a}{5}$. Координаты: $(\frac{2a}{5}, \frac{4a}{5})$.

4. Вычисление площади внутреннего квадрата.

Сначала докажем, что полученный четырехугольник — квадрат. Угловые коэффициенты прямых, образующих его стороны, равны $2$ и $-\frac{1}{2}$. Так как их произведение $2 \cdot (-\frac{1}{2}) = -1$, то смежные стороны перпендикулярны. Следовательно, это прямоугольник. Найдем квадрат длины одной из его сторон, например, между вершинами $(\frac{2a}{5}, \frac{4a}{5})$ и $(\frac{4a}{5}, \frac{3a}{5})$: $s^2 = (\frac{4a}{5} - \frac{2a}{5})^2 + (\frac{3a}{5} - \frac{4a}{5})^2 = (\frac{2a}{5})^2 + (-\frac{a}{5})^2 = \frac{4a^2}{25} + \frac{a^2}{25} = \frac{5a^2}{25} = \frac{a^2}{5}$.

Найдем квадрат длины смежной стороны, между вершинами $(\frac{4a}{5}, \frac{3a}{5})$ и $(\frac{3a}{5}, \frac{a}{5})$: $s^2 = (\frac{3a}{5} - \frac{4a}{5})^2 + (\frac{a}{5} - \frac{3a}{5})^2 = (-\frac{a}{5})^2 + (-\frac{2a}{5})^2 = \frac{a^2}{25} + \frac{4a^2}{25} = \frac{5a^2}{25} = \frac{a^2}{5}$.

Так как смежные стороны равны, а углы прямые, то внутренний четырехугольник является квадратом. Площадь этого квадрата, $S_{вн}$, равна квадрату длины его стороны: $S_{вн} = s^2 = \frac{a^2}{5}$.

5. Сравнение площадей.

Площадь исходного квадрата $S_{ABCD} = a^2$. Площадь внутреннего квадрата $S_{вн} = \frac{a^2}{5}$. Следовательно, $S_{вн} = \frac{1}{5} S_{ABCD}$.

Ответ: Утверждение доказано. Площадь квадрата, образованного пересечением отрезков, составляет $\frac{1}{5}$ площади исходного квадрата.