Номер 3.53, страница 84 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.53. Площадь равнобедренного треугольника равна $\frac{1}{3}$ площади квадрата, стороной которого является основание этого треугольника, причем боковые стороны треугольника на 1 см меньше его основания. Найдите стороны треугольника и высоту, опущенную на основание.

Обозначим длину основания равнобедренного треугольника как $a$ см. Согласно условию, сторона квадрата также равна $a$ см, следовательно, площадь квадрата составляет $S_{кв} = a^2$ см$^2$.

Площадь равнобедренного треугольника $S_{\Delta}$ равна одной трети площади квадрата: $S_{\Delta} = \frac{1}{3} S_{кв} = \frac{1}{3}a^2$ см$^2$.

Боковые стороны треугольника на 1 см меньше его основания, значит, длина каждой боковой стороны $b$ равна $(a-1)$ см.

Проведем высоту $h$ к основанию $a$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также и медианой, поэтому она делит основание на два равных отрезка длиной $\frac{a}{2}$. Высота $h$, боковая сторона $b$ и половина основания $\frac{a}{2}$ образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора имеем: $h^2 + (\frac{a}{2})^2 = b^2$

Подставим в это уравнение выражение для $b$: $h^2 + (\frac{a}{2})^2 = (a-1)^2$

С другой стороны, площадь треугольника можно выразить через основание и высоту: $S_{\Delta} = \frac{1}{2}ah$

Теперь у нас есть два выражения для площади треугольника. Приравняем их: $\frac{1}{2}ah = \frac{1}{3}a^2$

Поскольку $a$ является длиной стороны, $a \neq 0$. Мы можем разделить обе части уравнения на $a$: $\frac{1}{2}h = \frac{1}{3}a$ Отсюда выразим высоту $h$ через основание $a$: $h = \frac{2}{3}a$

Теперь подставим это выражение для $h$ в уравнение, полученное по теореме Пифагора: $(\frac{2}{3}a)^2 + (\frac{a}{2})^2 = (a-1)^2$

Раскроем скобки и решим уравнение: $\frac{4}{9}a^2 + \frac{1}{4}a^2 = a^2 - 2a + 1$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю 36: $\frac{16a^2 + 9a^2}{36} = a^2 - 2a + 1$

$\frac{25}{36}a^2 = a^2 - 2a + 1$

Умножим обе части уравнения на 36, чтобы избавиться от знаменателя: $25a^2 = 36(a^2 - 2a + 1)$ $25a^2 = 36a^2 - 72a + 36$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $36a^2 - 25a^2 - 72a + 36 = 0$ $11a^2 - 72a + 36 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$: $D = (-72)^2 - 4 \cdot 11 \cdot 36 = 5184 - 1584 = 3600$ $\sqrt{D} = \sqrt{3600} = 60$

Найдем корни уравнения: $a_1 = \frac{-(-72) - 60}{2 \cdot 11} = \frac{12}{22} = \frac{6}{11}$ $a_2 = \frac{-(-72) + 60}{2 \cdot 11} = \frac{132}{22} = 6$

Проверим полученные корни. Длина боковой стороны равна $(a-1)$ см. Так как длина стороны не может быть отрицательной или нулевой, должно выполняться условие $a-1 > 0$, то есть $a > 1$. Корень $a_1 = \frac{6}{11}$ не удовлетворяет этому условию, так как $\frac{6}{11} < 1$. Следовательно, единственным решением является $a = 6$.

Теперь найдем стороны треугольника и высоту:

• Основание: $a = 6$ см.
• Боковые стороны: $a - 1 = 6 - 1 = 5$ см.
• Высота, опущенная на основание: $h = \frac{2}{3}a = \frac{2}{3} \cdot 6 = 4$ см.

Ответ: основание треугольника равно 6 см, боковые стороны равны по 5 см, высота, опущенная на основание, равна 4 см.