Номер 3.36, страница 83 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.36. Докажите, что площадь выпуклого четырехугольника, диагонали которого взаимно перпендикулярны, равна половине произведения его диагоналей (рис. 3.19).

Рис. 3.19

Пусть дан выпуклый четырехугольник $ABCD$, диагонали которого $AC$ и $BD$ взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке $O$. Требуется доказать, что его площадь $S$ равна половине произведения длин диагоналей: $S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD$.

Площадь четырехугольника $ABCD$ можно найти как сумму площадей двух треугольников, на которые его разбивает диагональ $AC$: треугольника $\triangle ABC$ и треугольника $\triangle ADC$.

$S_{ABCD} = S_{\triangle ABC} + S_{\triangle ADC}$

Площадь треугольника вычисляется по формуле: половина произведения основания на высоту, проведенную к этому основанию.

Рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. Примем за его основание диагональ $AC$. Поскольку по условию $BD \perp AC$, отрезок $BO$ является высотой треугольника $\triangle ABC$, проведенной к основанию $AC$.

Таким образом, площадь треугольника $\triangle ABC$ равна:

$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BO$

Рассмотрим треугольник $\triangle ADC$. Примем за его основание также диагональ $AC$. Так как $BD \perp AC$, отрезок $DO$ является высотой треугольника $\triangle ADC$, проведенной к основанию $AC$.

Площадь треугольника $\triangle ADC$ равна:

$S_{\triangle ADC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot DO$

Теперь сложим площади этих двух треугольников, чтобы найти площадь всего четырехугольника:

$S_{ABCD} = S_{\triangle ABC} + S_{\triangle ADC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BO + \frac{1}{2} \cdot AC \cdot DO$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2} \cdot AC$ за скобки:

$S_{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot (BO + DO)$

Так как точка $O$ является точкой пересечения диагоналей, она лежит на отрезке $BD$. Следовательно, сумма длин отрезков $BO$ и $DO$ равна длине всей диагонали $BD$:

$BO + DO = BD$

Подставим это выражение в формулу для площади четырехугольника:

$S_{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Площадь выпуклого четырехугольника, диагонали которого взаимно перпендикулярны, равна половине произведения его диагоналей: $S = \frac{1}{2} d_1 d_2$.