Номер 3.37, страница 83 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

Рис. 3.

3.37. Параллельные стороны трапеции равны 60 см и 20 см, а боковые – 13 см и 37 см. Найдите площадь трапеции.

Пусть дана трапеция с основаниями $a$ и $b$, и боковыми сторонами $c$ и $d$. По условию, $a = 60$ см, $b = 20$ см, $c = 13$ см, $d = 37$ см. Площадь трапеции вычисляется по формуле: $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $h$ – высота трапеции.

Для нахождения высоты $h$ воспользуемся дополнительным построением. Проведем из вершины меньшего основания прямую, параллельную одной из боковых сторон, до пересечения с большим основанием.

Пусть у нас есть трапеция ABCD, где $AD$ и $BC$ – основания. $AD = 60$, $BC = 20$, $AB = 13$, $CD = 37$. Проведем из вершины C прямую $CE$, параллельную боковой стороне $AB$, так что точка $E$ лежит на основании $AD$. В результате образуется параллелограмм $ABCE$ и треугольник $CDE$.

В параллелограмме $ABCE$ противоположные стороны равны, поэтому $AE = BC = 20$ см и $CE = AB = 13$ см.

Рассмотрим треугольник $CDE$. Длины его сторон:

• $CD = 37$ см (по условию).
• $CE = 13$ см (как показано выше).
• $ED = AD - AE = 60 - 20 = 40$ см.

Высота трапеции $h$ совпадает с высотой треугольника $CDE$, проведенной из вершины $C$ к основанию $ED$. Найдем площадь треугольника $CDE$ по формуле Герона: $S_{\triangle} = \sqrt{p(p-s_1)(p-s_2)(p-s_3)}$, где $p$ – полупериметр, а $s_1, s_2, s_3$ – стороны треугольника.

Вычислим полупериметр $p$ треугольника $CDE$: $p = \frac{37 + 13 + 40}{2} = \frac{90}{2} = 45$ см.

Теперь найдем площадь треугольника $CDE$: $S_{CDE} = \sqrt{45(45-37)(45-13)(45-40)} = \sqrt{45 \cdot 8 \cdot 32 \cdot 5} = \sqrt{57600} = 240$ см².

Площадь треугольника также можно вычислить по формуле $S_{\triangle} = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$. В нашем случае $S_{CDE} = \frac{1}{2} \cdot ED \cdot h$. Отсюда можем выразить высоту $h$: $h = \frac{2 \cdot S_{CDE}}{ED} = \frac{2 \cdot 240}{40} = \frac{480}{40} = 12$ см.

Мы нашли высоту трапеции, $h = 12$ см. Теперь можем вычислить ее площадь: $S = \frac{a+b}{2} \cdot h = \frac{60+20}{2} \cdot 12 = \frac{80}{2} \cdot 12 = 40 \cdot 12 = 480$ см².

Ответ: 480 см².