Номер 3.26, страница 82 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.26. Найдите площадь треугольника по трем его сторонам:

1) 2 см; 3 см; 4 см;

2) 2,5 см; 1 см; 2 см;

3) 5 м; 7 м; 9 м;

4) 5 дм; 5 дм; 6 дм.

Для нахождения площади треугольника по трем его сторонам $a$, $b$ и $c$ используется формула Герона:

$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

где $p$ — полупериметр треугольника, который вычисляется по формуле:

$p = \frac{a+b+c}{2}$

1) Даны стороны треугольника: $a = 2 \text{ см}$, $b = 3 \text{ см}$, $c = 4 \text{ см}$.

Сначала найдем полупериметр $p$:

$p = \frac{2 + 3 + 4}{2} = \frac{9}{2} = 4,5 \text{ см}$.

Теперь подставим значения в формулу Герона:

$S = \sqrt{4,5(4,5-2)(4,5-3)(4,5-4)} = \sqrt{4,5 \cdot 2,5 \cdot 1,5 \cdot 0,5}$

Для удобства вычислений переведем десятичные дроби в обыкновенные:

$S = \sqrt{\frac{9}{2} \cdot \frac{5}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{9 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 1}{16}} = \sqrt{\frac{135}{16}} = \frac{\sqrt{9 \cdot 15}}{4} = \frac{3\sqrt{15}}{4} \text{ см}^2$.

Ответ: $\frac{3\sqrt{15}}{4} \text{ см}^2$.

2) Даны стороны треугольника: $a = 2,5 \text{ см}$, $b = 1 \text{ см}$, $c = 2 \text{ см}$.

Найдем полупериметр $p$:

$p = \frac{2,5 + 1 + 2}{2} = \frac{5,5}{2} = 2,75 \text{ см}$.

Подставим значения в формулу Герона:

$S = \sqrt{2,75(2,75-2,5)(2,75-1)(2,75-2)} = \sqrt{2,75 \cdot 0,25 \cdot 1,75 \cdot 0,75}$

Переведем десятичные дроби в обыкновенные:

$S = \sqrt{\frac{11}{4} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{7}{4} \cdot \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{11 \cdot 1 \cdot 7 \cdot 3}{4^4}} = \sqrt{\frac{231}{256}} = \frac{\sqrt{231}}{16} \text{ см}^2$.

Ответ: $\frac{\sqrt{231}}{16} \text{ см}^2$.

3) Даны стороны треугольника: $a = 5 \text{ м}$, $b = 7 \text{ м}$, $c = 9 \text{ м}$.

Найдем полупериметр $p$:

$p = \frac{5 + 7 + 9}{2} = \frac{21}{2} = 10,5 \text{ м}$.

Подставим значения в формулу Герона:

$S = \sqrt{10,5(10,5-5)(10,5-7)(10,5-9)} = \sqrt{10,5 \cdot 5,5 \cdot 3,5 \cdot 1,5}$

Переведем десятичные дроби в обыкновенные:

$S = \sqrt{\frac{21}{2} \cdot \frac{11}{2} \cdot \frac{7}{2} \cdot \frac{3}{2}} = \sqrt{\frac{(3 \cdot 7) \cdot 11 \cdot 7 \cdot 3}{16}} = \sqrt{\frac{3^2 \cdot 7^2 \cdot 11}{16}} = \frac{3 \cdot 7 \sqrt{11}}{4} = \frac{21\sqrt{11}}{4} \text{ м}^2$.

Ответ: $\frac{21\sqrt{11}}{4} \text{ м}^2$.

4) Даны стороны треугольника: $a = 5 \text{ дм}$, $b = 5 \text{ дм}$, $c = 6 \text{ дм}$.

Найдем полупериметр $p$:

$p = \frac{5 + 5 + 6}{2} = \frac{16}{2} = 8 \text{ дм}$.

Подставим значения в формулу Герона:

$S = \sqrt{8(8-5)(8-5)(8-6)} = \sqrt{8 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2} = \sqrt{16 \cdot 9} = \sqrt{144} = 12 \text{ дм}^2$.

Ответ: $12 \text{ дм}^2$.