Номер 1.206, страница 51 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.206. Докажите, что прямые, соединяющие точки касания противоположных сторон описанной равнобедренной трапеции, проходят через точку пересечения ее диагоналей.

Пусть дана описанная равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$ ($BC \parallel AD$) и боковыми сторонами $AB$ и $CD$ ($AB=CD$). Пусть в нее вписана окружность, которая касается сторон $AB$, $BC$, $CD$, $AD$ в точках $K$, $L$, $M$, $N$ соответственно. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$. Требуется доказать, что прямые $LN$ и $KM$ проходят через точку $O$.

Доказательство разобьем на две части для каждой прямой.

1. Доказательство для прямой LN

Прямая $LN$ соединяет точки касания на параллельных основаниях трапеции. Радиусы вписанной окружности, проведенные в точки касания, перпендикулярны касательным. Следовательно, радиус, проведенный в точку $L$, перпендикулярен $BC$, а радиус, проведенный в точку $N$, перпендикулярен $AD$. Так как $BC \parallel AD$, то точки $L$, центр окружности $I$ и точка $N$ лежат на одной прямой. Отрезок $LN$ является диаметром вписанной окружности и перпендикулярен основаниям, то есть является высотой трапеции.

В равнобедренной трапеции прямая, проходящая через середины оснований, является ее осью симметрии. Центр вписанной окружности $I$ всегда лежит на этой оси. Так как $LN$ — это высота, проходящая через центр $I$, то прямая $LN$ совпадает с осью симметрии трапеции.

Точка пересечения диагоналей $O$ равнобедренной трапеции также всегда лежит на ее оси симметрии.

Поскольку и прямая $LN$, и точка $O$ лежат на одной и той же прямой (оси симметрии трапеции), то прямая $LN$ проходит через точку $O$.

2. Доказательство для прямой KM

Сначала установим свойство точек $K$ и $M$ на боковых сторонах $AB$ и $CD$. Пусть длины отрезков касательных, проведенных из вершин $A, B, C, D$ к вписанной окружности, равны $t_A, t_B, t_C, t_D$ соответственно. Тогда:

$AK = AN = t_A$

$BK = BL = t_B$

$CM = CL = t_C$

$DM = DN = t_D$

В силу симметрии равнобедренной трапеции относительно ее оси (прямой $LN$), отражение относительно этой оси переводит вершину $A$ в $D$, а вершину $B$ в $C$. Это означает, что длины отрезков касательных из симметричных вершин равны: $t_A = t_D$ и $t_B = t_C$.

Следовательно, мы имеем:

$AK = t_A$ и $DM = t_D = t_A$.

$KB = t_B$ и $MC = t_C = t_B$.

Это означает, что точки $K$ и $M$ делят боковые стороны $AB$ и $CD$ в одинаковом отношении:

$\frac{AK}{KB} = \frac{t_A}{t_B}$ и $\frac{DM}{MC} = \frac{t_A}{t_B}$.

Отсюда следует, что $\frac{AK}{KB} = \frac{DM}{MC}$, что эквивалентно равенству $\frac{AK}{AB} = \frac{DM}{DC}$.

Теперь докажем общее свойство для любой трапеции: прямая, соединяющая точки $K$ на $AB$ и $M$ на $CD$ такие, что $\frac{AK}{AB} = \frac{DM}{DC}$, проходит через точку пересечения диагоналей $O$.

Проведем через точку $O$ прямую, параллельную основаниям $AD$ и $BC$. Пусть эта прямая пересекает сторону $AB$ в точке $K'$, а сторону $CD$ — в точке $M'$. Докажем, что $K' = K$ и $M' = M$.

В треугольнике $\triangle ABD$ отрезок $K'O$ параллелен основанию $AD$. По теореме Фалеса (обобщенной):

$\frac{AK'}{AB} = \frac{DO}{DB}$

В треугольнике $\triangle ACD$ отрезок $OM'$ параллелен основанию $AD$. По теореме Фалеса:

$\frac{DM'}{DC} = \frac{AO}{AC}$

В любой трапеции треугольники $\triangle AOD$ и $\triangle COB$ подобны. Пусть $a=AD$ и $b=BC$. Коэффициент подобия равен $\frac{AO}{CO} = \frac{DO}{BO} = \frac{AD}{BC} = \frac{a}{b}$.

Из этих соотношений выразим искомые отношения $\frac{DO}{DB}$ и $\frac{AO}{AC}$:

$DB = DO + OB = DO + DO \cdot \frac{b}{a} = DO \frac{a+b}{a} \implies \frac{DO}{DB} = \frac{a}{a+b} = \frac{AD}{AD+BC}$.

$AC = AO + OC = AO + AO \cdot \frac{b}{a} = AO \frac{a+b}{a} \implies \frac{AO}{AC} = \frac{a}{a+b} = \frac{AD}{AD+BC}$.

Таким образом, для точек $K'$ и $M'$, лежащих на прямой, проходящей через $O$ параллельно основаниям, выполняются равенства:

$\frac{AK'}{AB} = \frac{AD}{AD+BC}$ и $\frac{DM'}{DC} = \frac{AD}{AD+BC}$.

Теперь вернемся к точкам касания $K$ и $M$. Длины оснований трапеции через отрезки касательных: $AD = AN+ND = t_A+t_D = 2t_A$ и $BC = BL+LC = t_B+t_C = 2t_B$.

Найдем отношение для точки $K$:

$\frac{AK}{AB} = \frac{t_A}{t_A+t_B}$.

А теперь найдем отношение для точки $K'$:

$\frac{AD}{AD+BC} = \frac{2t_A}{2t_A+2t_B} = \frac{t_A}{t_A+t_B}$.

Поскольку $\frac{AK}{AB} = \frac{AK'}{AB}$, точки $K$ и $K'$ совпадают. Аналогично, $\frac{DM}{DC} = \frac{t_A}{t_A+t_B}$ и $\frac{DM'}{DC} = \frac{AD}{AD+BC} = \frac{t_A}{t_A+t_B}$, значит, точки $M$ и $M'$ также совпадают.

Следовательно, точки касания $K$ и $M$ лежат на прямой, проходящей через точку $O$ параллельно основаниям. Это означает, что прямая $KM$ проходит через точку $O$.

Таким образом, мы доказали, что обе прямые, $LN$ и $KM$, проходят через точку пересечения диагоналей $O$.

Ответ: Что и требовалось доказать.