Номер 1.193, страница 50 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.8. Вписанные и описанные четырехугольники. Раздел 1. Многоугольники. Четырехугольники - номер 1.193, страница 50.

Учебник rus.

1.193. Постройте прямоугольник по радиусу описанной окружности и углу между диагоналями (рис. 1.98).

Рис. 1.98

Учебник kz.

Решение.

Решение 2 rus.

Задача состоит в построении прямоугольника по двум заданным элементам: отрезку, равному радиусу $R$ описанной окружности, и углу $\alpha$ между диагоналями.

Анализ

В основе построения лежат ключевые свойства прямоугольника и его описанной окружности:

• Центр описанной окружности прямоугольника совпадает с точкой пересечения его диагоналей.
• Диагонали прямоугольника равны между собой и в точке пересечения делятся пополам.
• Длина каждой диагонали равна диаметру описанной окружности, то есть $2R$.
• Расстояние от центра окружности до любой из вершин прямоугольника равно радиусу $R$.
• Диагонали образуют при пересечении две пары равных вертикальных углов. Одна пара углов равна заданному углу $\alpha$, другая — смежному с ним углу $180^\circ - \alpha$.

Построение

На основании анализа, построение выполняется в следующей последовательности:

1. На плоскости выбираем произвольную точку $O$, которая будет центром описанной окружности и точкой пересечения диагоналей.
2. С помощью циркуля строим окружность с центром в точке $O$ и радиусом, равным данному отрезку $R$. Все вершины будущего прямоугольника будут лежать на этой окружности.
3. Проводим через центр $O$ произвольную прямую. Точки ее пересечения с окружностью обозначаем как $A$ и $C$. Отрезок $AC$ является диаметром окружности и будет одной из диагоналей искомого прямоугольника.
4. Строим вторую прямую, проходящую через центр $O$ и образующую с прямой $AC$ угол, равный данному углу $\alpha$. Это можно сделать с помощью транспортира или классическим построением копирования угла с помощью циркуля и линейки.
5. Новая прямая пересечет окружность в двух точках, которые мы обозначим как $B$ и $D$. Отрезок $BD$ — это вторая диагональ прямоугольника.
6. Последовательно соединяем отрезками точки $A$, $B$, $C$ и $D$.

Полученный четырехугольник $ABCD$ является искомым прямоугольником.

Доказательство

Необходимо доказать, что построенный четырехугольник $ABCD$ является прямоугольником и удовлетворяет условиям задачи.

• По построению, отрезки $AC$ и $BD$ являются диаметрами одной окружности. Следовательно, они равны ($AC = BD = 2R$) и в точке пересечения $O$ делятся пополам ($OA = OC = OB = OD = R$).
• Четырехугольник, у которого диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам, является прямоугольником. Таким образом, $ABCD$ — прямоугольник.
• Радиус описанной окружности этого прямоугольника по построению равен $R$.
• Угол между его диагоналями $AC$ и $BD$ по построению равен $\alpha$.

Следовательно, построенный прямоугольник $ABCD$ удовлетворяет всем заданным условиям.

Ответ:

Для построения прямоугольника необходимо выполнить следующие шаги:

1. Построить окружность с заданным радиусом $R$.
2. Провести через ее центр два диаметра так, чтобы угол между ними был равен заданному углу $\alpha$.
3. Концы этих диаметров являются вершинами искомого прямоугольника. Соединить их последовательно отрезками.