Номер 1.188, страница 50 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.188. Можно ли описать окружность около четырехугольника, если его углы, взятые в последовательном порядке, равны:

1) $90^\circ$, $90^\circ$, $60^\circ$, $120^\circ$;

2) $70^\circ$, $130^\circ$, $110^\circ$, $50^\circ$;

3) $45^\circ$, $75^\circ$, $135^\circ$, $105^\circ$?

Для того чтобы около четырехугольника можно было описать окружность, необходимо и достаточно, чтобы сумма его противолежащих углов равнялась $180^\circ$. Пусть углы четырехугольника, взятые в последовательном порядке, это $\angle A$, $\angle B$, $\angle C$ и $\angle D$. Тогда для возможности описать окружность должно выполняться равенство: $\angle A + \angle C = 180^\circ$ и $\angle B + \angle D = 180^\circ$. Проверим это свойство для каждого из предложенных случаев.

1)

Даны углы $90^\circ, 90^\circ, 60^\circ, 120^\circ$. Пусть $\angle A = 90^\circ$, $\angle B = 90^\circ$, $\angle C = 60^\circ$ и $\angle D = 120^\circ$.
Найдем сумму первой пары противолежащих углов: $\angle A + \angle C = 90^\circ + 60^\circ = 150^\circ$.
Поскольку $150^\circ \neq 180^\circ$, условие не выполняется.
Для полноты проверим и вторую пару: $\angle B + \angle D = 90^\circ + 120^\circ = 210^\circ$. Эта сумма также не равна $180^\circ$.
Следовательно, описать окружность около такого четырехугольника нельзя.
Ответ: нельзя.

2)

Даны углы $70^\circ, 130^\circ, 110^\circ, 50^\circ$. Пусть $\angle A = 70^\circ$, $\angle B = 130^\circ$, $\angle C = 110^\circ$ и $\angle D = 50^\circ$.
Найдем сумму первой пары противолежащих углов: $\angle A + \angle C = 70^\circ + 110^\circ = 180^\circ$.
Условие выполняется. Проверим вторую пару углов:
$\angle B + \angle D = 130^\circ + 50^\circ = 180^\circ$.
Так как суммы обеих пар противолежащих углов равны $180^\circ$, то около такого четырехугольника можно описать окружность.
Ответ: можно.

3)

Даны углы $45^\circ, 75^\circ, 135^\circ, 105^\circ$. Пусть $\angle A = 45^\circ$, $\angle B = 75^\circ$, $\angle C = 135^\circ$ и $\angle D = 105^\circ$.
Найдем сумму первой пары противолежащих углов: $\angle A + \angle C = 45^\circ + 135^\circ = 180^\circ$.
Условие выполняется. Проверим вторую пару углов:
$\angle B + \angle D = 75^\circ + 105^\circ = 180^\circ$.
Так как суммы обеих пар противолежащих углов равны $180^\circ$, то около такого четырехугольника можно описать окружность.
Ответ: можно.