Номер 1.194, страница 50 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.194. Постройте ромб по стороне и радиусу вписанной окружности.

Анализ

Высота ромба $h$, проведенная между двумя его параллельными сторонами, равна диаметру вписанной в него окружности. Если радиус вписанной окружности равен $r$, то высота ромба $h = 2r$. Рассмотрим ромб $ABCD$ со стороной $a$. Проведем высоту $BH$ из вершины $B$ к стороне $AD$. В образовавшемся прямоугольном треугольнике $ABH$ гипотенузой является сторона ромба $AB = a$, а одним из катетов — высота $BH = h = 2r$. Построение возможно только в том случае, если длина гипотенузы не меньше длины катета, то есть должно выполняться условие $a \ge h$, или $a \ge 2r$.

Построение

Пусть даны два отрезка, представляющие длину стороны $a$ и радиус вписанной окружности $r$.

1. Построим отрезок высоты $h$, равный удвоенному радиусу $2r$.
2. Проведем произвольную прямую $l$. Выберем на ней произвольную точку $H$.
3. Восстановим в точке $H$ перпендикуляр к прямой $l$ и отложим на нем отрезок $HB$, равный высоте $h$.
4. Из точки $B$ как из центра проведем окружность радиусом $a$. Точка пересечения этой окружности с прямой $l$ будет вершиной $A$ ромба. (При $a > 2r$ будет две точки пересечения, можно выбрать любую. При $a = 2r$ точка $A$ совпадет с $H$).
5. Теперь у нас есть сторона ромба $AB$. Чтобы найти остальные вершины, отложим на прямой $l$ от точки $A$ отрезок $AD$, равный $a$.
6. Для нахождения четвертой вершины $C$ построим две дуги: одну с центром в точке $B$ и радиусом $a$, другую с центром в точке $D$ и радиусом $a$. Точка их пересечения и будет вершиной $C$.
7. Соединим последовательно точки $A$, $B$, $C$ и $D$. Полученный четырехугольник $ABCD$ — искомый ромб.

Доказательство

В построенном четырехугольнике $ABCD$ все стороны по построению равны $a$: $AB = a$ (шаг 4), $AD = a$ (шаг 5), $BC = a$ и $DC = a$ (шаг 6). Следовательно, $ABCD$ является ромбом. Высота этого ромба, опущенная из вершины $B$ на прямую, содержащую сторону $AD$, по построению равна $BH = h = 2r$. Это означает, что радиус вписанной в него окружности равен $h/2 = r$. Таким образом, построенный ромб удовлетворяет всем условиям задачи.

Исследование

Анализ и построение показывают, что задача имеет решение не при любых заданных $a$ и $r$.

• Если $a < 2r$, то на шаге 4 окружность с центром в $B$ и радиусом $a$ не пересечет прямую $l$, так как расстояние от $B$ до $l$ равно $2r$, что больше радиуса. Построение невозможно, решений нет.
• Если $a = 2r$, окружность коснется прямой $l$ в единственной точке $H$. В этом случае $A \equiv H$, и ромб будет являться квадратом со стороной $a$. Решение единственно.
• Если $a > 2r$, окружность пересечет прямую $l$ в двух точках, симметричных относительно перпендикуляра $BH$. Выбор любой из этих точек для вершины $A$ приводит к построению одного и того же ромба (с точностью до симметрии). Следовательно, решение единственно с точностью до конгруэнтности.

Ответ: Построение искомого ромба возможно при условии $a \ge 2r$. В этом случае задача имеет единственное решение (с точностью до конгруэнтности).