Практическая работа, страница 49 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

Практическая работа

1. Постройте вписанную и описанную окружности, если даны:

1) равносторонний треугольник;

2) квадрат.

2. В данную окружность впишите трапецию и около нее опишите трапецию.

1) равносторонний треугольник;

В равностороннем треугольнике центры вписанной и описанной окружностей совпадают. Эта точка является точкой пересечения его биссектрис, медиан и высот, которые для данной фигуры также совпадают. Построение выполняется в следующем порядке:
Шаг 1. Дан равносторонний треугольник $ABC$.
Шаг 2. Находим общий центр $O$ для обеих окружностей. Для этого с помощью циркуля и линейки строим биссектрисы двух любых углов (например, $\angle A$ и $\angle B$). Точка их пересечения $O$ и будет искомым центром. Также центр можно найти, построив серединные перпендикуляры к двум любым сторонам.
Шаг 3. Строим вписанную окружность. Радиус вписанной окружности $r$ равен длине перпендикуляра, опущенного из центра $O$ на любую из сторон. Строим перпендикуляр $OH$ к стороне $AC$. С помощью циркуля чертим окружность с центром в $O$ и радиусом $r = OH$.
Шаг 4. Строим описанную окружность. Радиус описанной окружности $R$ равен расстоянию от центра $O$ до любой из вершин треугольника. С помощью циркуля чертим окружность с центром в $O$ и радиусом $R = OA$.

Ответ: Построение выполнено. Центр вписанной и описанной окружностей для равностороннего треугольника совпадает и находится в точке пересечения его биссектрис (или медиан, или высот). Радиус вписанной окружности равен расстоянию от центра до любой из сторон, а радиус описанной — расстоянию от центра до любой из вершин.

2) квадрат.

У квадрата, как у правильного многоугольника, центры вписанной и описанной окружностей совпадают. Этот центр находится в точке пересечения его диагоналей. Алгоритм построения следующий:
Шаг 1. Дан квадрат $ABCD$.
Шаг 2. Находим центр окружностей. С помощью линейки проводим диагонали $AC$ и $BD$. Точка их пересечения $O$ является искомым центром.
Шаг 3. Строим вписанную окружность. Ее радиус $r$ равен расстоянию от центра $O$ до любой стороны, что составляет половину длины стороны квадрата. Для построения находим середину $M$ любой стороны (например, $AB$). Длина отрезка $OM$ и есть радиус $r$. Чертим окружность с центром в $O$ и радиусом $r = OM$.
Шаг 4. Строим описанную окружность. Ее радиус $R$ равен расстоянию от центра $O$ до любой вершины, что составляет половину длины диагонали квадрата. Чертим окружность с центром в $O$ и радиусом $R = OA$.

Ответ: Построение выполнено. Центр обеих окружностей для квадрата находится в точке пересечения его диагоналей. Радиус вписанной окружности равен половине стороны квадрата, а радиус описанной — половине его диагонали.

2. В данную окружность впишите трапецию и около нее опишите трапецию.

Эта задача состоит из двух отдельных построений.

Построение трапеции, вписанной в окружность:
В окружность можно вписать только равнобедренную трапецию. Алгоритм построения:
1. В данной окружности с центром $O$ проведите произвольную хорду $AD$. Она будет одним из оснований трапеции.
2. Постройте хорду $BC$, параллельную хорде $AD$. Самый простой способ — провести диаметр, перпендикулярный $AD$, и отложить от него на равном расстоянии по обе стороны хорду $BC$.
3. Последовательно соедините точки $A, B, C$ и $D$. Полученный четырехугольник $ABCD$ — искомая равнобедренная трапеция, вписанная в окружность.

Построение трапеции, описанной около окружности:
Трапецию можно описать около окружности, если суммы длин ее противоположных сторон равны. Высота такой трапеции равна диаметру вписанной окружности. Алгоритм построения:
1. В данной окружности проведите произвольный диаметр. Через его концы постройте две касательные к окружности. Эти касательные будут параллельны и будут содержать основания будущей трапеции.
2. Проведите третью касательную к окружности в любой точке на ней (кроме концов выбранного диаметра). Эта касательная пересечет две параллельные прямые и образует одну из боковых сторон трапеции.
3. Аналогично постройте четвертую касательную, которая образует вторую боковую сторону. Полученная фигура из четырех касательных является трапецией, описанной около окружности. Чтобы трапеция была равнобедренной, третья и четвертая касательные должны быть симметричны относительно прямой, содержащей выбранный диаметр.

Ответ: Чтобы вписать трапецию, строят две параллельные хорды и соединяют их концы. Чтобы описать трапецию, строят четыре касательные: две из них параллельны друг другу (основания), а две другие их пересекают (боковые стороны).