Номер 1.176, страница 44 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.176. Вершина прямого угла прямоугольного треугольника соединена с центрами описанной и вписанной окружностей отрезками, угол между которыми равен $7^\circ$. Найдите острые углы треугольника.

Дано:

$\triangle ABC$, $\angle C = 90^\circ$, $\angle O_1 CO_2 = 7^\circ$.

$O_1$ и $O_2$ – центры описанной и вписанной в треугольник окружностей (рис. 1.82).

Найти:

$\angle A$, $\angle B$.

Рис. 1.82

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $\angle C = 90^\circ$.

$O_1$ — центр описанной окружности. В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности совпадает с серединой гипотенузы. Таким образом, точка $O_1$ является серединой гипотенузы $AB$.

$O_2$ — центр вписанной окружности. Центр вписанной окружности является точкой пересечения биссектрис углов треугольника. Следовательно, отрезок $CO_2$ — биссектриса угла $C$.

Так как $CO_2$ является биссектрисой прямого угла $C$, то она делит его на два равных угла:
$\angle ACO_2 = \angle BCO_2 = \frac{\angle C}{2} = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$.

Рассмотрим отрезок $CO_1$. Он соединяет вершину $C$ с серединой гипотенузы $AB$, следовательно, $CO_1$ — медиана, проведенная к гипотенузе. По свойству медианы прямоугольного треугольника, проведенной из вершины прямого угла, ее длина равна половине гипотенузы: $CO_1 = AO_1 = BO_1 = R$, где $R$ — радиус описанной окружности.

Рассмотрим треугольник $AO_1C$. Так как $CO_1 = AO_1$, то он является равнобедренным с основанием $AC$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому $\angle ACO_1 = \angle A$.

Аналогично, треугольник $BO_1C$ является равнобедренным ($CO_1 = BO_1$), поэтому $\angle BCO_1 = \angle B$.

По условию задачи, угол между отрезками $CO_1$ и $CO_2$ равен $7^\circ$, то есть $\angle O_1CO_2 = 7^\circ$.

Этот угол является разностью между углом, который биссектриса $CO_2$ образует с катетом, и углом, который медиана $CO_1$ образует с тем же катетом. Возможны два случая.

1. Случай 1: Луч $CO_1$ лежит между лучами $CA$ и $CO_2$.
Тогда угол $\angle ACO_2$ можно представить как сумму углов $\angle ACO_1$ и $\angle O_1CO_2$:
$\angle ACO_2 = \angle ACO_1 + \angle O_1CO_2$
Подставляя известные значения, получаем:
$45^\circ = \angle A + 7^\circ$
Отсюда находим один из острых углов:
$\angle A = 45^\circ - 7^\circ = 38^\circ$.

2. Случай 2: Луч $CO_1$ лежит между лучами $CB$ и $CO_2$.
Тогда:
$\angle BCO_2 = \angle BCO_1 + \angle O_1CO_2$
Подставляя известные значения, получаем:
$45^\circ = \angle B + 7^\circ$
Отсюда находим второй острый угол:
$\angle B = 45^\circ - 7^\circ = 38^\circ$.

Поскольку сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$ ($\angle A + \angle B = 90^\circ$), если один из углов равен $38^\circ$, то второй будет равен $90^\circ - 38^\circ = 52^\circ$. Оба случая приводят к одному и тому же набору углов.

Ответ: Острые углы треугольника равны $38^\circ$ и $52^\circ$.