Номер 1.172, страница 44 - гдз по геометрии 8 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.172. Может ли радиус описанной около треугольника окружности быть:

1) больше каждой стороны;

2) меньше каждой стороны;

3) равным каждой стороне этого треугольника?

Для решения этой задачи воспользуемся обобщенной теоремой синусов, которая связывает стороны треугольника, синусы противолежащих углов и радиус описанной окружности ($R$):
$ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R $
Из этой теоремы можно выразить любую сторону треугольника, например, сторону $a$:
$ a = 2R \sin A $
Аналогичные формулы справедливы для сторон $b$ и $c$. Будем анализировать каждый случай отдельно.

1) больше каждой стороны

Может ли радиус описанной окружности $R$ быть больше каждой из сторон $a, b, c$? Это означает, что должны одновременно выполняться три неравенства: $R > a$, $R > b$ и $R > c$.
Рассмотрим неравенство $R > a$. Используя формулу $a = 2R \sin A$, получаем:
$ R > 2R \sin A $
Поскольку радиус $R$ для невырожденного треугольника — величина положительная, мы можем разделить обе части неравенства на $R$:
$ 1 > 2 \sin A $
$ \sin A < \frac{1}{2} $
Аналогичные условия должны выполняться и для двух других углов: $\sin B < \frac{1}{2}$ и $\sin C < \frac{1}{2}$.
Угол треугольника $\alpha$ находится в диапазоне $0^\circ < \alpha < 180^\circ$. Неравенство $\sin \alpha < \frac{1}{2}$ выполняется, если $0^\circ < \alpha < 30^\circ$ или $150^\circ < \alpha < 180^\circ$.
Сумма углов треугольника равна $180^\circ$. Если все три угла $A, B, C$ будут меньше $30^\circ$, то их сумма будет меньше $30^\circ \cdot 3 = 90^\circ$, что невозможно.
Следовательно, хотя бы один из углов должен быть больше $150^\circ$. В треугольнике может быть только один тупой угол. Пусть это будет угол $C$, то есть $150^\circ < C < 180^\circ$.
Тогда для суммы двух других углов имеем: $A+B = 180^\circ - C < 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$.
Если $A+B < 30^\circ$, то каждый из углов $A$ и $B$ точно будет меньше $30^\circ$, а значит, их синусы также будут меньше $\frac{1}{2}$.
Например, рассмотрим треугольник с углами $C=170^\circ$, $A=5^\circ$, $B=5^\circ$.
$\sin C = \sin 170^\circ = \sin(180^\circ-10^\circ) = \sin 10^\circ \approx 0.174 < 0.5$
$\sin A = \sin 5^\circ \approx 0.087 < 0.5$
$\sin B = \sin 5^\circ \approx 0.087 < 0.5$
Все условия выполняются. Следовательно, такой треугольник существует.
Ответ: Да, может. Это характерно для тупоугольных треугольников с одним очень большим углом.

2) меньше каждой стороны

Может ли радиус описанной окружности $R$ быть меньше каждой из сторон $a, b, c$? Это означает, что должны одновременно выполняться три неравенства: $R < a$, $R < b$ и $R < c$.
Рассмотрим неравенство $R < a$. Используя формулу $a = 2R \sin A$, получаем:
$ R < 2R \sin A $
Разделив на $R > 0$, получим:
$ 1 < 2 \sin A $
$ \sin A > \frac{1}{2} $
Аналогично, для других углов: $\sin B > \frac{1}{2}$ и $\sin C > \frac{1}{2}$.
Неравенство $\sin \alpha > \frac{1}{2}$ для угла треугольника выполняется, если $30^\circ < \alpha < 150^\circ$.
Нам нужно проверить, может ли существовать треугольник, все углы которого лежат в этом интервале.
Например, рассмотрим равносторонний треугольник. Все его углы равны $60^\circ$.
Так как $30^\circ < 60^\circ < 150^\circ$, условие $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} > \frac{1}{2}$ выполняется для всех трех углов.
Проверим соотношение между стороной $a$ и радиусом $R$ для равностороннего треугольника:
$a = 2R \sin 60^\circ = 2R \frac{\sqrt{3}}{2} = R\sqrt{3}$
Отсюда $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$.
Поскольку $\sqrt{3} \approx 1.732 > 1$, то $R < a$. Так как все стороны равны, $R$ меньше каждой стороны.
Ответ: Да, может. Например, в равностороннем треугольнике.

3) равным каждой стороне этого треугольника

Может ли радиус описанной окружности $R$ быть равным каждой стороне треугольника? Это означает, что должны одновременно выполняться равенства $R=a$, $R=b$ и $R=c$.
Из этих равенств следует, что все стороны треугольника равны между собой: $a = b = c$. Такой треугольник является равносторонним.
Теперь проверим, может ли у равностороннего треугольника радиус описанной окружности быть равен его стороне.
Как мы установили в предыдущем пункте, для равностороннего треугольника со стороной $a$ радиус описанной окружности $R$ связан с ней соотношением:
$a = R\sqrt{3}$
Если бы радиус был равен стороне, то есть $a=R$, мы бы получили:
$R = R\sqrt{3}$
Так как $R > 0$, мы можем разделить обе части на $R$:
$1 = \sqrt{3}$
Это равенство является ложным, так как $\sqrt{3} \approx 1.732$. Следовательно, радиус описанной окружности не может быть равен стороне равностороннего треугольника.
А так как условие "радиус равен каждой стороне" однозначно приводит к тому, что треугольник должен быть равносторонним, такая ситуация невозможна.
Ответ: Нет, не может.